[확률과 통계 기초] 3-30. 가능성이 변하는 연속확률변수

지난시간에 함께 해결해보려고 했던 궁금증을 다시 살펴봅시다.

 

먹으면 몸무게가 랜덤하게 60~100kg 사이로 변하는 약이 있다고 합시다. 지금까지는 이 약을 먹고 나서 각 몸무게로 변할 가능성이 동일하다고 했었습니다. 60kg 로 변할 가능성과 100kg로 변할 가능성이 동일하다고 놓은 것입니다. 각 몸무게가 발생할 확률은 정의할 수가 없었고, 구간의 확률만 정의할 수 있었습니다. 그래서 누적분포함수를 구했었습니다. 아래와 같습니다. 

 

$$F(x)=P[X \leq x]=\frac{x-60}{40} \ \ (60\leq x \leq 100)$$

 

이번에는 생각을 달리해봅시다. 60kg으로 변할 가능성이 가장 낮고, 100kg로 갈 수록 가능성이 서서히 높아지다가 100kg 으로 변할 가능성이 가장 높다고 해봅시다. 약을 먹었을 때 변한 몸무게를 확률변수 X라고 놓겠습니다.

 

확률변수 X의 누적분포함수는 어떻게 구할까요?

 

$$F(x)=P[X \leq x]=??$$

 

잠깐 시간을 갖고 한번 시도해 보세요.

 

우리가 지금까지 배운 내용만 가지고는 구하기가 쉽지 않다는걸 느끼셨을 것입니다. 여기서 개념의 한 단계 도약이 필요합니다.

 

지금까지의 내용을 통해 한가지 힌트를 발견할 수 있습니다. 연속확률변수도 확률과 비슷한 어떤 값을 갖고 있다는 것입니다. 위 예제에서는 ‘가능성’이란 말을 붙였는데요. 60kg 가 될 가능성과 100kg가 될 가능성을 다르다고 놓았습니다. 이 값은 분명 확률은 아닙니다. 확률이 아닌 이유는 이전에도 다뤘습니다. 연속확률변수가 확률을 갖는 순간 전체 확률이 무한대가 되기 때문에 확률은 아닙니다. 하지만 확률과 비슷한 무언가, 우리가 가능성이라고 부르는 그 무언가가 분명 있습니다.

 

다음시간에는 그 무언가에 대한 이야기를 해보겠습니다.