[확률과 통계 기초] 3-32. 누적분포함수를 미분해보았다

우리는 연속확률변수에서 ‘가능성’이라고 부르는 어떤 것의 정체를 밝혀내는 중입니다.

 

이를 이해하기 위해 아래 예시를 다시 봅시다.

 

먹으면 몸무게가 랜덤하게 60~100kg 사이로 변하는 약이 있다고 합시다. 약을 먹고 나서 각 몸무게로 변할 가능성은 동일합니다.

 

약을 먹은 뒤의 몸무게를 확률변수 X라고 합시다.

 

이 상황을 나타낸 그래프도 그려보았지만, 우리가 말하는 '가능성'이 무엇인지 이해할 수 없었습니다 .

 

 

사람들은 누적분포함수를 미분해 보는 방법을 선택했습니다. 위 예시의 누적분포함수는 다움과 같습니다.

 

$$ F(x)=P[X \leq x]=\frac{x-60}{40} \ \ (60\leq x \leq 100) $$

 

이 함수를 미분한 결과를 f(x)라고 놓으면 다음과 같습니다. 

 

$$ f(x)=\frac{1}{40} \ \ (60\leq x \leq 100) $$

 

이 f(x)를 그래프로 나타내면 직선이 됩니다. 다음과 같습니다.

 

 

누적분포함수 F(x)를 미분하면 f(x) 가 됩니다. 반대로 f(x)를 적분하면 F(x)가 됩니다. f(x)를 구간 (a,b)에서의 정적분 해보면 결과는 다음과 같습니다.

 

$$  \int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a) $$

 

위 식의 좌변은 아래 그림에 나타난 넓이입니다.

 

 

위 식의 우변은 X가 a~b 사이 값을 가질 확률입니다.  F(b)는 b까지의 누적확률이고, F(a)는 a까지의 누적확률이므로 F(b)에서 F(a)를 빼면 a~b 사이의 확률이 됩니다. 

 

따라서 우리는 f(x)를 넓이가 확률인 함수라고 이해할 수 있습니다. 함수 f(x)를 구해놓으면, 넓이를 이용해서 구간의 확률을 구할 수 있습니다.

 

그렇다면 f(x) 함수가 가지는 값 자체는 어떤 의미일까요? 분명 확률은 아닙니다. 확률은 아니지만 f(x) 값이 높을 수록 해당 값이 발생할 가능성은 높아집니다. 우리가 지난시간에 이야기했던 그 ‘가능성’이라는 개념이 바로 이 f(x) 함수에서 드러납니다. 

 

다음시간에 이 내용을 한번 더 정리하고 f(x) 라는 함수에 적절한 이름을 붙여봅시다.