[확률과 통계 기초] 3-26. 연속확률변수에서는 확률이 정의되지 않는 이유

우리는 지난시간에 연속확률변수를 배웠습니다. 연속확률변수는 3-5강에서 이미 한번 배웠었는데요. 시간이 많이 지났기 때문에 지난 강의에서 한번 더 복습을 했습니다. 

 

오늘은 연속확률변수에서 각 원소의 확률이 정의되지 않는다는 내용을 배워볼겁니다. 그전에 이산확률변수의 확률분포를 하나 살펴보겠습니다. 

 

이산확률변수에 속하는 이항분포를 배웠던 기억을 떠올려 봅시다. 자유투 성공률이 70%인 농구선수가 자유투를 5번 던졌을 때 성공한 횟수를 X로 놓을 때, 확률함수는 아래와 같았습니다. 

 

$p(x)=_5C_x \ (0.7)^x(0.3)^{5-x}$

 

확률함수를 구해놓으면 원하는 확률변수의 확률을 쉽게 구할 수 있습니다. X에 궁금한 값을 대입하면 확률이 구해집니다. 

 

연속확률변수에도 이런 확률함수를 구할 수 있으면 좋을 것 같은데요. 연속확률변수에는 한가지 문제가 있었죠. 연속확률변수에서는 확률을 정의할 수 없다는 것입니다. 3-7강에서 배운 내용인데요 한번 더 복습해보겠습니다. 

 

어떤 연속확률변수 X가 있다고 합시다. X는 아래 구간의 실수값을 갖는 확률변수입니다. 

 

$1\leq X \leq 3$

 

이 확률변수의 원소들이 확률을 갖는다고 가정한다면 아래와 같은 확률분포를 그려볼 수 있습니다. 

 

 

이때 모든 확률의 합을 $p_{total}$이라고 놓겠습니다. 위 그래프에서 가장 작은 확률값을 $p_{min}$이라고 놓아봅시다. $p_{total}$은 $p_{min}$에 x의 개수를 곱한 값보다 커야합니다. 

 

이때 모든 확률의 합을 $p_{total}$이라고 하겠습니다. 그리고 위 그래프에서 가장 작은 확률값을 $p_{min}$이라고 놓아보겠습니다. 그러면 $p_{total}$은 $p_{min}$에 x의 개수를 곱한 값보다 커야 합니다.

즉, 아래와 같은 관계식이 성립합니다:

$p_{total} > p_{min} \times N_{x}$
​  
여기서 $p_{min}$이 0이 아니며, x의 개수가 무한하므로 우변은 무한대가 됩니다. 따라서 좌변인 $p_{total}$도 무한대가 되어야 합니다. 하지만, 모든 확률의 합인 $p_{total}$은 1이어야 합니다. 이로 인해 모든 확률의 합이 1이라는 조건과 모순이 발생하므로, 해당 확률변수의 원소들이 개별적으로 확률을 갖는다는 가정이 잘못되었음을 알 수 있습니다.

 

여기서 이런 질문을 하시는 분이 계실 수도 있습니다.

 

한쪽 끝이 0으로 수렴해서 $p_{min}$이 0이라면 이야기가 달라지는게 아닌가? 

 

그런 경우를 한번 가정해봅시다. 확률변수 X가 0부터 무한대의 값을 갖고 아래와 같은 확률분포함수를 가진다고 해봅시다. 

 

 

x가 커질수록 p(x)는 0으로 수렴하는 그래프입니다. 이때 $p_{min}$은 0이라서 위 증명은 유효하지 않아 보입니다. 

 

한번 아래와 같은 구간을 잡아봅시다. 

 

 

이 구간에 있는 X의 모든 확률의 합을 $p_{total}$이라고 놓고, 가장 작은 확률값을 $p_{min}$이라고 놓아보겠습니다. 그러면 $p_{total}$은 $p_{min}$에 x의 개수를 곱한 값보다 커야 합니다.

즉, 아래와 같은 관계식이 성립합니다:

$p_{total} > p_{min} \times N_{x}$

 

여기서 $p_{min}$이 0이 아니며, x의 개수가 무한하므로 우변은 무한대가 됩니다. 따라서 좌변인 $p_{total}$도 무한대가 되어야 합니다. 하지만, $p_{total}$은 1보다 작아야 합니다.  이로 인해 모순이 발생하므로, 해당 확률변수의 원소들이 개별적으로 확률을 갖는다는 가정이 잘못되었음을 알 수 있습니다.
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따라서 연속확률변수에서는 확률변수의 각 원소들이 확률을 가질 수 없습니다.

 

그렇다면 연속확률변수의 확률함수는 구할 수 없는 것일까요? 다음시간에 알아봅시다.

 

 

https://www.youtube.com/watch?v=i5ur3qJpuFg