[확률과 통계 기초] 3-29. 누적분포 함수 익숙해지기

지난시간에 배운 누적분포함수의 정의를 복습해봅시다.

 

구간이 $a\leq X \leq b$ 인 확률변수가 있다고 합시다. 확률변수 X가 각 값이 될 가능성은 동일하다고 가정하겠습니다. 확률변수 X의 누적분포함수는 아래와 같습니다.

 

$$ F(x)=P[X \leq x]=\frac{x-a}{b-a} \ \ (a\leq x \leq b) $$

 

오늘은 이 누적분포함수에 익숙해지는 시간을 갖겠습니다.

 

우리가 계속 사용하던 예시를 다시 살펴보겠습니다. 먹으면 몸무게가 랜덤하게 60~100kg 사이로 변하는 약이 있다고 합시다. 약을 먹고 나서 각 몸무게로 변할 가능성은 동일합니다. 약을 먹은 뒤의 몸무게를 확률변수 X라고 합시다. 확률변수 X의 누적분포 함수는 아래와 같습니다.

 

$$ F(x)=P[X \leq x]=\frac{x-60}{40} \ \ (60\leq x \leq 100) $$

 

그래프로도 그려봅시다.

 

 

몸무게가 60보다 같거나 작을 확률은 0 입니다. 약을 복용하면 몸무게가 60부터 100 사이로 변하기 때문에, 60보다 작은 몸무게가 나올 가능성은 없으므로 확률이 0인 것이 맞습니다. 또한 몸무게가 100이하일 확률은 1입니다. 약을 먹고 변한 몸무게는 항상 100 이하이므로, 확률이 1인 것이 맞습니다.

 

이번에는 조금 어려운 문제를 풀어봅시다.

 

몸무게가 65 이상, 90 이하일 확률은 어떻게 구할까요? 65 이상, 90 이하일 확률은 아래와 같이 표현됩니다.

 

$$ P[65 \leq X \leq 90] $$

 

$F(X)$ 를 이용해서 위 확률을 표현할 수 있습니다. 아래와 같이 표현합니다.

 

$$ P[65 \leq X \leq 90]=F(90)-F(65) $$

 

확률을 계산하면 아래와 같습니다.

 

$$ P[65 \leq X \leq 90]=F(90)-F(65)=\frac{90-60}{40}-\frac{65-60}{40}=\frac{7}{8} $$

 

여기까지 공부하고 나니, 새로운 궁금증이 생겼습니다.

 

“몸무게가 60kg이 될 가능성이 가장 낮고, 100kg에 가까울 수록 가능성이 커지는 확률변수의 누적확률분포는 어떻게 구할까?”

 

이 주제에 대해 다음 시간에 함께 탐구해봅시다.