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확률과 통계46

[확률과통계 기초] 1-4. 합사건, 곱사건, 배반사건, 여사건 우리는 지난시간까지 시행, 표본공간, 사건 이라는 용어를 배웠습니다. 오늘도 용어를 배우는 시간인데요. 네자기 종류의 사건을 배워볼 것입니다. 합사건, 곱사건, 배반사건, 여사건입니다. 어떤 시행의 표본공간을 S라고 합시다. 이 말이 이해되시나요? 표본공간은 어떤 시행 결과로 나올 수 있는 전체집합입니다. 주사위를 던지는 시행을 했다면 표본공간은 아래와 같습니다.

$S=\left \{ 1,2,3,4,5,6 \right \}$ 사건은 표본공간의 부분집합입니다. 주사위 던지기라는 시행의 사건을 몇가지 적어보면 아래와 같습니다. 홀수의 눈이 나오는 사건 = {1,3,5} 짝수의 눈이 나오는 사건 = {2,4,6} 3이상의 눈이 나오는 사건 = {3,4,5,6} 1. 합사건 (사건들의 합집합) 표본공간의 부분집.. 2022. 5. 20.

[확률과통계] 독립사건의 두 가지 맥락 독립사건을 처음 배우는 시기는 고등학교 수학시간입니다. 두 사건 A와 B가 있을 때, 아래 등식을 만족하면 서로 독립입니다.

$P(X\cap Y)=P(X)P(Y)$ 주사위를 한 번 던질 때, 아래 두 사건이 독립인지 판단하시오. 라는 문제를 풀었던 기억이 있습니다.

$A=\left \{ 1,2,3 \right \}$

$B=\left \{ 4,5,6 \right \}$ 확률을 계산해봅시다.

$P(A)=0.5$

$P(B)=0.5$

$P(A\cap B)=0$ 등식이 성립하지 않으므로 독립이 아닙니다. A와 B는 배반사건인데요. 배반사건은 종속이라는걸 기억하시는 분들도 계실겁니다. 위 문제를 아래와 같이 바꿔봅시다. 아래 두 사건이 독립인지 판단하시오.

$A=\left \{ 1,2,3 \right \}$ $B=.. 2022. 5. 18.

[확률과통계 기초] 1-2. 사건 지난 시간에는 시행과 표본공간이라는 용어를 배웠습니다. 이번 시간에는 중요한 용어를 한가지 더 배워보겠습니다. 오늘 배워볼 용어는 사건입니다. 사건이 무엇인지 정확하게 이해하기 위해서 위키피디아의 정의를 가져왔습니다. In probability theory, an event is a set of outcomes of an experiment (a subset of the sample space) to which a probability is assigned. 간단히 요약해보았습니다. 사건은 시행 결과들의 집합이다. 이 집합에는 확률이 할당되어 있다. 지난 시간에 배운 표본공간도 시행결과들의 집합이었는데요. 표본공간에는 '가능한 모든' 이라는 말이 붙어있었습니다. 주사위 던지기를 예로 들면, 표본공간은 {.. 2022. 5. 10.

[확률과통계 기초] 1-1. 시행과 표본공간 오늘은 용어를 배워볼 것입니다. 서로 용어를 잘 정의해 놓으면 의사 소통이 편해집니다. 용어가 사용되는 내용들을 설명하기도 쉽고 이해하기도 쉬워집니다. 오늘 배울 용어는 시행과 표본공간이 무엇인지 알아봅시다. 시행이 무엇인지 정확하게 이해하기 위해서 위키피디아의 정의를 가져왔습니다. In probability theory, an experiment or trial (see below) is any procedure that can be infinitely repeated and has a well-defined set of possible outcomes, known as the sample space. 약간의 의역을 가미해서 이해하기 쉽게 번역해봅시다. 확률론에서 시행은 1)무한히 반복될 수 있고 2).. 2022. 5. 9.

같은 것이 있는 순열 / 2020년 수능 수학 가형 28번 [확률과통계] 2020 수능 가형의 [확률과 통계] 문제는 4,6,14,16,18,20,23,25,28입니다. 경우의 수 문제도 포함하였습니다. 풀이 아래 두가지 경우가 가능합니다. (홀수1) (짝수1 짝수1) (짝수2 짝수2) (홀수1) (홀수2) (홀수3) (짝수1 짝수1) 첫번째 경우 경우의 수는 아래와 같습니다. (홀수1개 짝수 2개 뽑음) x (같은 것이 있는 순열로 배열함)

$\left ( _{3}C_{1} \times _{3}C_{2} \right ) \times \left ( \frac{5!}{2! \times 2!} \right )=270$ 두번째 경우 경우의 수는 아래와 같습니다. (홀수3개 짝수 1개 뽑음) x (같은 것이 있는 순열로 배열함) $\left ( _{3}C_{3} \times _{3}.. 2021. 6. 16.

이항분포 / 2020년 수능 수학 가형 25번 [확률과통계] 2020 수능 가형의 [확률과 통계] 문제는 4,6,14,16,18,20,23,25,28입니다. 경우의 수 문제도 포함하였습니다. 풀이 a는 {0,1,2,3,4,5} 를 가질 수 있고, b는 {0,1,2,3,4}를 가질 수 있습니다. a-b=3 인 경우는 (5,2) , (4,1), (3,0) 의 세가지입니다. 각 경우의 확률은 아래와 같습니다.

$P(a=5,b=2)=\left ( \frac{1}{2} \right )^5 \times _{5}C_{5} \times \left ( \frac{1}{2} \right )^4 \times _{4}C_{2}$ $P(a=4,b=1)=\left ( \frac{1}{2} \right )^5 \times _{5}C_{4} \times \left ( \frac{1}{2} \.. 2021. 6. 15.

이항분포 / 2020년 수능 수학 가형 23번 [확률과통계] 2020 수능 가형의 [확률과 통계] 문제는 4,6,14,16,18,20,23,25,28입니다. 경우의 수 문제도 포함하였습니다. 풀이 이항분포

$B(n,p)$ 를 따르는 확률변수

$X$ 의 평균과 분산은 아래와 같습니다.

$E(X)=np$

$V(X)=np(1-p)$ 따라서 p는

$\frac{1}{4}$ 입니다. V(X)는 아래와 같이 계산됩니다.

$V(X)=80 \times \frac{1}{4} \times \frac{3}{4} = 15$ 정답은 15입니다. 풀이 영상 2021. 6. 14.

정규분포의 표준화 / 2020년 수능 수학 가형 18번 [확률과통계] 2020 수능 가형의 [확률과 통계] 문제는 4,6,14,16,18,20,23,25,28입니다. 경우의 수 문제도 포함하였습니다. 풀이 f(12)는 f(10+2) 입니다. 평균이 10, 표준편차가 2이므로, 평균에서 표준편차만큼 떨어진 곳의 함수값입니다. g(20)이 평균에서 표준편차만큼 떨어진 곳의 함수값보다 크려면, 확률변수 Y의 평균은 20에서 표준편차인 2보다 많이 떨어져 있으면 안됩니다. 따라서 위 조건을 만족하는 m의 범위는 아래와 같습니다.

$18 \leq m \leq 22$

$P(21 \leq Y \leq 24)$ 의 값은 Y의 평균 m이 21과 24의 중점인 22.5에 가까울 수록 커집니다. 따라서 m이 22일 때 최대값을 갖습니다.

$P(21 \leq Y \leq 24)$ 를 표준정규분.. 2021. 6. 10.

표본평균의 평균과 분산 / 2020 수능 수학 가형 14번 [확률과통계] 2020 수능 가형의 [확률과 통계] 문제는 4,6,14,16,18,20,23,25,28입니다. 경우의 수 문제도 포함하였습니다. 풀이 (가) 계산 모분산은 아래와 같이 계산됩니다.

$\begin{align} V(X)&=\sum_{i=1}^{n}\left ( x_{i}-m \right )^{2}p_{i}\\&= \left ( 1-\frac{7}{3} \right )^{2}\cdot \frac{1}{6}+ \left ( 2-\frac{7}{3} \right )^{2}\cdot \frac{1}{3}+ \left ( 3-\frac{7}{3} \right )^{2}\cdot \frac{1}{2} \\&=\frac{5}{9} \end{align}$ 아래와 같이 간단한 방법으로도 계산할 수 있습니다. $\begin.. 2021. 6. 8.

조합 / 2020 수능 수학 가형 6번 [확률과통계] 2020 수능 가형의 [확률과 통계] 문제는 4,6,14,16,18,20,23,25,28입니다. 경우의 수 문제도 포함하였습니다. 풀이

$\frac{_{3}C_{2} \times _{4}C_{2}}{_{7}C_{4}}=\frac{18}{35}$ 정답은 3번입니다. 2021. 6. 7.

중복조합 / 2021 수능 수학 가형 26번 [확률과통계] 2021 수능 가형의 [확률과 통계] 문제는 4,6,9,12,17,19,22,26,29 입니다. 경우의 수 문제도 포함하였습니다 . 풀이 기본적인 배치에는 아래 네가지가 있습니다. 배치1 배치2 배치3 배치4 A ●●●● B ● ------ C ●○ D ○ A ●●●● B ●● ---- C ○ D ○ A ●●●● B ●●○--- C ○ D ○ A ●●●●● B ● ------ C ○ D ○ 잔여 ○○○○ 잔여 ○○○ 잔여 ○○○ 잔여 ○○○○ 계산해봅시다. 배치1 계산 잔여 흰공이 A에 3개 오는 경우에는 나머지 1개의 공을 C,D 에 배치해야합니다. 이는 C,D를 한개의 자리에 배치하는 것과 같으므로 중복조합

$_{2}H_{1}$ 입니다. 나머지 경우도 같은 방식으로 계산합니다. A에 흰공 3개 오는 .. 2021. 6. 2.

이항정리 / 2021년 수능 수학 가형 22번 [확률과통계] 2021 수능 가형의 [확률과 통계] 문제는 4,6,9,12,17,19,22,26,29 입니다. 경우의 수 문제도 포함하였습니다 . 풀이

$x^2$ 이 나오는 경우를 생각해봅시다.

$\frac{3}{x^2}$ 한번 곱해지는 경우입니다. 전개했을 때

$x^2$ 항은 아래와 같습니다.

$_{5}C_{4}x^4\left( \frac{3}{x^2} \right)^1$ 아래와 같이 계산됩니다.

$15x^2$ 정답은 15입니다. 풀이 영상 2021. 5. 31.

확률의 곱셈정리 / 2021년 수능 수학 가형 19번 [확률과통계] 2021 수능 가형의 [확률과 통계] 문제는 4,6,9,12,17,19,22,26,29 입니다. 경우의 수 문제도 포함하였습니다 . 풀이 아래 두 확률을 구해서 더하면 됩니다. 1) 3을 꺼내고 주사위를 3번 던져서 10이 나올 확률 2) 4를 꺼내고 주사위를 4번 던져서 10이 나올 확률 먼저 1번 부터 계산해봅시다. 1번 확률은 아래 두 확률의 곱입니다. (3을 꺼낼 확률) x (주사위 3번 던져서 10이 나올 확률) 3을 꺼낼 확률은

$\frac{2}{5}$ 입니다. 주사위 3번 던져서 10이 나올 확률을 구하기 위해 먼저 1 이상의 세개의 숫자를 더해서 10이 나올 경우의 수를 계산해봅시다. 아래 아이디어를 이용합니다. 1이 10개 있습니다. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 칸막이 2개를 사용.. 2021. 5. 30.

이항분포와 기댓값 / 2021년 수능 수학 가형 17번 [확률과통계] 2021 수능 가형의 [확률과 통계] 문제는 4,6,9,12,17,19,22,26,29 입니다. 경우의 수 문제도 포함하였습니다 . 풀이 주사위를 던져서 2이하가 나온 횟수를 A회라고 놓고, 3이상이 나온 횟수를 B회라고 놓겠습니다. 총 15회 던졌으므로, A와 B의 합은 15입니다.

$A+B=15$ 주사위를 한 번 던질 때 2 이하가 나올 확률은

$\frac{1}{3}$ 이므로 A는

$B\left(15,\frac{1}{3} \right)$ 인 이항분포를 따르는 확률변수라고 할 수 있습니다.

$A~B\left(15,\frac{1}{3} \right)$ 이동된 점

$P$ 의 좌표를

$(3A,B)$ 라고 놓을 수 있습니다.

$B=15-A$ 이므로 아래와 같이 변형이 가능합니다.

$(3A,15-A)$ $(3A,15.. 2021. 5. 29.

모집단과 표본추출 / 2021년 수능 수학 가형 6번 [확률과통계] 2021 수능 가형의 [확률과 통계] 문제는 4,6,9,12,17,19,22,26,29 입니다. 경우의 수 문제도 포함하였습니다. 풀이 모수와 표본통계량 사이의 관계를 알고 있는지 묻는 문제입니다. 아래 등식이 성립함을 알고 있으면 풀 수 있습니다.

$E(\bar{X})=\mu$

$V(\bar{X})=\frac{\sigma^2}{n}$

$\sigma(\bar{X})$ 는

$\sqrt{V(\bar{X})}$ 입니다. 따라서

$E(\bar{X})$ 는 20이고,

$\sigma(\bar{X})$ 는

$\frac{5}{4}$ 입니다. 더하면

$\frac{85}{4}$ 이므로 정답은 4번입니다. 풀이 영상 2021. 5. 28.

조건부 확률 / 2021년 수능 수학 가형 4번 [확률과통계] 2021 수능 수학 가형의 [확률과 통계] 문제는 4,6,9,12,17,19,22,26,29 입니다. 경우의 수 문제도 포함하였습니다. 풀이 조건부확률은 아래와 같이 계산됩니다.

$P(B|A)=\frac{P(B \cap A)}{P(A)}=\frac{1}{4}$

$P(A|B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}=\frac{1}{3}$ 아래와 같이 변형됩니다.

$P(B \cap A)=\frac{1}{4} P(A)$

$P(A \cap B)=\frac{1}{3} P(B)$ 위 두 식을 이용하면 아래 등식을 도출할 수 있습니다.

$\frac{1}{4} P(A)=\frac{1}{3} P(B)$ 아래와 같이 변형합시다.

$P(A)=\frac{4}{3} P(B)$ 문제의 조건 식에 대입합시다. $\frac{.. 2021. 5. 27.

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