확률의 곱셈정리 / 2021년 수능 수학 가형 19번 [확률과통계]

2021 수능 가형의 [확률과 통계] 문제는 4,6,9,12,17,19,22,26,29 입니다. 경우의 수 문제도 포함하였습니다 .

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풀이

아래 두 확률을 구해서 더하면 됩니다. 

 

1) 3을 꺼내고 주사위를 3번 던져서 10이 나올 확률

2) 4를 꺼내고 주사위를 4번 던져서 10이 나올 확률

 

먼저 1번 부터 계산해봅시다. 1번 확률은 아래 두 확률의 곱입니다. 

 

(3을 꺼낼 확률) x (주사위 3번 던져서 10이 나올 확률)

 

3을 꺼낼 확률은 $\frac{2}{5}$ 입니다. 주사위 3번 던져서 10이 나올 확률을 구하기 위해 먼저 1 이상의 세개의 숫자를 더해서 10이 나올 경우의 수를 계산해봅시다. 아래 아이디어를 이용합니다. 

 

1이 10개 있습니다. 

 

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

 

칸막이 2개를 사용합니다. 칸막이 두개로 일 열개를 셋으로 나눌 것입니다. 예를 들면 아래와 같습니다. 

 

1 1 / 1 1 1 / 1 1 1 1 1

 

(2,3,5) 로 나뉘었습니다. 경우의 수는 $_{9}C_{2}$ 입니다. 칸막이가 올 수 있는 사이공간이 9개이기 때문입니다. 이들 중 아래 경우를 제외합니다. 주사위로 표현이 안되는 경우들입니다. 

 

(8,1,1) 로 만들 수 있는 쌍 3가지

(7,1,2) 로 만들 수 있는 쌍 6가지

 

경우의 수는 아래와 같습니다. $_{9}C_{2}-3-6$

 

따라서 주사위 3번 던져서 10이 나올 확률확률은 아래와 같이 계산됩니다. 

 

$\frac{_{9}C_{2}-3-6}{6^3}$

 

1번 확률은 아래와 같습니다. 

 

$\frac{2}{5}\times \frac{_{9}C_{2}-3-6}{6^3}$

 

2번 확률도 같은 방법으로 계산합니다.

 

2번 확률은 아래 두 확률의 곱입니다.

 

(4를 꺼낼 확률) x (주사위 4번 던져서 10이 나올 확률)

 

4를 꺼낼 확률은 $\frac{3}{5}$ 입니다. 주사위를 4번 던져서 10이 나올 확률을 계산하기 위해 1을 10개 세워놓고, 칸막이 3개를 사용합니다. 칸막이로 나누는 경우의 수는 아래와 같습니다. 

 

$_{9}C_{3}$

 

제외해야 하는 경우는 7111로 만들 수 있는 쌍 4가지 입니다. 

 

$_{9}C_{3}-4$

 

2번 확률은 아래와 같습니다. 

 

$\frac{3}{5}\times \frac{_{9}C_{3}-4}{6^4}$

 

둘을 더해줍니다. 

 

$\frac{2}{5}\times \frac{_{9}C_{2}-3-6}{6^3}+\frac{3}{5}\times \frac{_{9}C_{3}-4}{6^4}=\frac{47}{540}$

 

정답은 5번입니다. 

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풀이 영상