이항분포와 기댓값 / 2021년 수능 수학 가형 17번 [확률과통계]

2021 수능 가형의 [확률과 통계] 문제는 4,6,9,12,17,19,22,26,29 입니다. 경우의 수 문제도 포함하였습니다 .

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풀이

주사위를 던져서 2이하가 나온 횟수를 A회라고 놓고, 3이상이 나온 횟수를 B회라고 놓겠습니다. 총 15회 던졌으므로, A와 B의 합은 15입니다. 

 

$A+B=15$

 

주사위를 한 번 던질 때 2 이하가 나올 확률은 $\frac{1}{3}$ 이므로 A는 $B\left(15,\frac{1}{3} \right)$인 이항분포를 따르는 확률변수라고 할 수 있습니다. 

 

$A~B\left(15,\frac{1}{3} \right)$

 

이동된 점 $P$의 좌표를 $(3A,B)$라고 놓을 수 있습니다. $B=15-A$ 이므로 아래와 같이 변형이 가능합니다. 

 

$(3A,15-A)$

 

$(3A,15-A)$와 $3x+4y=0$ 사이의 거리는 아래와 같이 계산됩니다. 

 

$X=\frac{\left | 3\times3A+4(15-A) \right |}{\sqrt{3^2+4^2}}$

 

계산해줍시다. 

 

$X=\frac{\left | 5A+60) \right |}{5}$

 

A는 항상 양수이므로 절댓값을 벗길 수 있습니다. 

 

$X=\frac{5A+60 }{5}$

 

약분해줍시다. 

 

$X=A+12$

 

기댓값을 취해봅시다.

 

$E(X)=E(A+12)$

 

우변을 분리합시다. 

 

$E(X)=E(A)+12$

 

A의 기댓값은 $B\left(15,\frac{1}{3} \right)$에서 구할 수 있습니다. 5입니다. 

 

$E(X)=5+12=17$ 

 

정답은 3번입니다. 

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풀이 영상