표본평균의 평균과 분산 / 2020 수능 수학 가형 14번 [확률과통계]

2020 수능 가형의 [확률과 통계] 문제는 4,6,14,16,18,20,23,25,28입니다. 경우의 수 문제도 포함하였습니다.

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풀이

(가) 계산

 

모분산은 아래와 같이 계산됩니다. 

 

$\begin{align} V(X)&=\sum_{i=1}^{n}\left ( x_{i}-m \right )^{2}p_{i}\\&= \left ( 1-\frac{7}{3} \right )^{2}\cdot \frac{1}{6}+ \left ( 2-\frac{7}{3} \right )^{2}\cdot \frac{1}{3}+ \left ( 3-\frac{7}{3} \right )^{2}\cdot \frac{1}{2} \\&=\frac{5}{9} \end{align}$

 

아래와 같이 간단한 방법으로도 계산할 수 있습니다. 

 

$\begin{align} V(X)&=\sum_{i=1}^{n}\left ( x_{i} \right )^{2}p_{i}-m^{2}\\&= 1^{2}\cdot \frac{1}{6}+ 2^{2}\cdot \frac{1}{3}+ 3^{2}\cdot \frac{1}{2}-\left( \frac{7}{3} \right)^2 \\&=\frac{5}{9} \end{align}$

 

(나) 계산

 

표본평균의 분산은 아래와 같이 계산합니다. 

 

$E(\bar{X})=\frac{\sigma^2}{n}=\frac{5}{90}=\frac{1}{18}$

 

 

(다) 계산

 

$V(Y)=V(10\bar{X})=100V(\bar{X})==\frac{100}{18}=\frac{50}{9}$

 

 

세 값을 더합시다. 

 

$\frac{5}{90}+\frac{1}{18}+\frac{50}{9}=\frac{111}{18}=\frac{37}{6}$

 

정답은 4번입니다. 

 

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