[손으로 푸는 통계] 6. E(XY)=E(X)E(Y) 의 성립조건과 증명

5강(표본평균의 분산이 모분산/n 인 이유)에서 수식을 유도할 때, 아래 등식을 사용했습니다.
 
$E(XY)=E(X)E(Y)$

두 변수 X,Y가 독립일 경우 등식이 성립합니다. 두 변수가 독립이라는 것은 한 변수의 발생 여부가 다른 변수에 영향을 주지 않는 것을 의미합니다. 

오늘은 두 변수가 독립인 경우 왜 위 등식이 성립하는지 증명해보도록 하겠습니다. 먼저 간단한 예시로 성립한다는 것을 보여드리고, 일반화하도록 하겠습니다.

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예시

서로 독립인 변수 X,Y가 있다고 합시다. X와 Y의 원소는 아래와 같습니다. 

$X=\left [ 1,2,3  \right ]$
$Y=\left [ 5,6  \right ]$

이때 XY가 가질 수 있는 원소는 아래의 6가지입니다. 

$XY=\left [ 1\times5,2\times 5,3\times 5,1\times 6,2\times 6,3\times 6  \right ]$

두 변수가 독립이므로 모든 조합이 가능하기 때문입니다. 두 변수가 독립이 아닌 상황을 예로 들면, X가 1일 때는 Y가 2만 가능한 경우 등입니다. 이럴 경우 모든 조합의 곱이 불가능합니다. 

XY의 기댓값을 구해봅시다. 

$E(XY)=\frac{1\times 5+2\times5+3\times5+1\times6+2\times6+3\times6}{6}$

분자를 아래와 같이 인수분해할 수 있습니다. 

$E(XY)=\frac{(1+2+3)(5+6)}{6}$

분자는 3과 2의 곱이므로 아래와 같이 두 식으로 분리할 수 있습니다. 

$E(XY)=\frac{(1+2+3)}{3}\frac{(5+6)}{2}$

각 항은 X와 Y의 기댓값입니다. 

$E(XY)=E(X)E(Y)$

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일반화

X와 Y를 각각 원소가 m, n개인 변수라고 합시다. 

$X=\left [ x_{1},x_{2},...,x_{n} \right ]$

$Y=\left [ y_{1},y_{2},...,y_{m} \right ]$

XY의 원소는 위 원소들의 곱의 모든 조합입니다. 개수로는 mn 개입니다. XY의 기댓값은 아래와 같습니다. 

$E(XY)=\frac{(x_{1}+x_{2}+...+x_{n})(y_{1}+y_{2}+...+y_{m})}{nm}$

분모를 둘로 나눕시다. 

$E(XY)=\frac{(x_{1}+x_{2}+...+x_{n})}{n}\frac{(y_{1}+y_{2}+...+y_{m})}{m}$

각각은 X와 Y의 기댓값입니다. 따라서 아래 등식이 성립합니다. 

$E(XY)=E(X)E(Y)$

 

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