[손으로 푸는 통계] 5. 표본평균의 분산이 모분산/n 인 이유(고등학생들 꼭 보세요)

우리는 지난 두개의 글에서 표본평균의 평균이 모평균과 같다는 것과, 표본분산의 평균이 모분산과 같다는 것을 보였습니다. 

$E(\bar{X})=\mu$
$E(S^{2})=\sigma^{2}$

표본분산의 평균이 모분산과 같다는 것을 보일 때, 아래 성질을 사용했습니다. 

$V(\bar{X})=\frac{\sigma^2}{n}$

이 성질은 고등학교에서 확률과 통계 시간에도 배우는 내용입니다. 증명은 하지 않았던 것으로 기억합니다. 주사위 던지기나, 동전 던지기 등의 간단한 예시로 위 등식이 성립하는 한가지 사례를 보였을겁니다. 오늘은  위 등식이 성립한다는 것을 증명해봅시다. 

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증명 방법1

표본평균의 분산은 아래와 같이 계산됩니다. 분산이 편차의 제곱의 평균이기 때문입니다. 

$V(\bar{X})=E\left [ \left ( \bar{X}-\mu \right )^2 \right ]$

표본평균은 아래와 같이 계산됩니다. 

$\bar{X}=\frac{\sum_{i=1}^{n}x_{i}}{n}$

표본평균의 분산을 구하는 식에 대입합시다. 

$V(\bar{X})=E\left [ \left ( \frac{\sum_{i=1}^{n}x_{i}}{n} - \mu \right )^2 \right ]$

아래와 같이 모평균의 분모와 분자에 n을 곱해줍시다. 1을 곱한것과 같으므로 등식에 영향을 주지 않습니다. 

$V(\bar{X})=E\left [ \left ( \frac{\sum_{i=1}^{n}x_{i}}{n} - \frac{n\mu}{n} \right )^2 \right ]$

통분합시다. 

$V(\bar{X})=E\left [ \left ( \frac{\sum_{i=1}^{n}x_{i}-n\mu}{n}  \right )^2 \right ]$

시그마 안으로 넣어줍니다. 

$V(\bar{X})=E\left [ \left ( \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\mu)}{n}  \right )^2 \right ]$

$n^2$은 상수이므로 괄호 밖으로 꺼내줍니다 .

$V(\bar{X})=\frac{1}{n^{2}}E\left [ \left ( \sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\mu)  \right )^2 \right ]$

시그마를 풀어서 쓰겠습니다. 

$V(\bar{X})=\frac{1}{n^{2}}E\left [ \left ( (x_{1}-\mu)+(x_{2}-\mu)+...+(x_{n}-\mu) \right )^2 \right ]$

전개해봅시다. 제곱항들과 제곱항이 아닌 항들이 생깁니다. 

$V(\bar{X}) = \frac{1}{n^{2}}E\left [ (x_{1}-\mu)^2 +(x_{2}-\mu)^2 +...+(x_{n}-\mu)^2 +  (x_{1}-\mu)(x_{2}-\mu)+(x_{1}-\mu)(x_{3}-\mu)+... \right ]$

기댓값 기호를 분리해서 써줍시다. 

$V(\bar{X}) = \frac{1}{n^{2}} \left \{ 
E\left [ (x_{1}-\mu)^2 +(x_{2}-\mu)^2 +...+(x_{n}-\mu)^2 \right ]
+E\left [(x_{1}-\mu)(x_{2}-\mu)+(x_{1}-\mu)(x_{3}-\mu)+... \right ]
\right \} $

한번 더 분리합시다. 

$V(\bar{X}) = \frac{1}{n^{2}} \left \{ 
E\left [ (x_{1}-\mu)^2  \right ]
+E\left [(x_{2}-\mu)^2  \right ]
+...
+E\left [ (x_{n}-\mu)^2 \right ]
+E\left [(x_{1}-\mu)(x_{2}-n\mu) \right ]
+E\left [(x_{1}-\mu)(x_{3}-n\mu) \right ]
+...
\right \} $

제곱항이 아닌 경우를 하나 봅시다. 

$E\left [(x_{1}-\mu)(x_{2}-\mu) \right ]$

두 변수가 독립일 경우 아래와 같이 분리가 가능합니다. 이 내용은 6강에서 설명합니다. 

$E\left [(x_{1}-\mu)(x_{2}-\mu) \right ]=E\left [(x_{1}-\mu)\right ]E\left [(x_{2}-\mu)\right ]$

각 항은 아래와 같은 이유로 0이 됩니다. 

 

$E\left [(x_{1}-\mu)\right ]=E\left [(x_{1})\right ]-\mu =\mu-\mu=0$

 

따라서 제곱항이 아닌 모든 항은 0 됩니다. 

 

$V(\bar{X}) = \frac{1}{n^{2}} \left \{ 
E\left [ (x_{1}-\mu)^2  \right ]
+E\left [(x_{2}-\mu)^2  \right ]
+...
+E\left [ (x_{n}-\mu)^2 \right ]
\right \} $

 

제곱항들은 모집단의 분산과 같습니다. 따라서 아래와 같이 계산됩니다. 

 

$V(\bar{X}) = \frac{1}{n^{2}} \left \{ 
n \sigma^2 \right \}=\frac{\sigma^2}{n} $

 

증명 완료.

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증명 방법2

분산을 구하는 다른 방법을 이용한 유도입니다. 분산은 변수의 제곱의 평균에서 평균의 제곱을 뺀 결과와도 같습니다. 

표본평균의 분산은 아래와 같이 계산됩니다. 

 

 

 

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