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@ 필수과목/손으로 푸는 통계

[손으로 푸는 통계] 6. E(XY)=E(X)E(Y) 의 성립조건과 증명

by bigpicture 2018. 3. 23.
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5강(표본평균의 분산이 모분산/n 인 이유)에서 수식을 유도할 때, 아래 등식을 사용했습니다.
 
E(XY)=E(X)E(Y)

두 변수 X,Y가 독립일 경우 등식이 성립합니다. 두 변수가 독립이라는 것은 한 변수의 발생 여부가 다른 변수에 영향을 주지 않는 것을 의미합니다. 

오늘은 두 변수가 독립인 경우 왜 위 등식이 성립하는지 증명해보도록 하겠습니다. 먼저 간단한 예시로 성립한다는 것을 보여드리고, 일반화하도록 하겠습니다.


예시

서로 독립인 변수 X,Y가 있다고 합시다. X와 Y의 원소는 아래와 같습니다. 

X=[1,2,3]
Y=[5,6]

이때 XY가 가질 수 있는 원소는 아래의 6가지입니다. 

XY=[1×5,2×5,3×5,1×6,2×6,3×6]

두 변수가 독립이므로 모든 조합이 가능하기 때문입니다. 두 변수가 독립이 아닌 상황을 예로 들면, X가 1일 때는 Y가 2만 가능한 경우 등입니다. 이럴 경우 모든 조합의 곱이 불가능합니다. 

XY의 기댓값을 구해봅시다. 

E(XY)=1×5+2×5+3×5+1×6+2×6+3×66

분자를 아래와 같이 인수분해할 수 있습니다. 

E(XY)=(1+2+3)(5+6)6

분자는 3과 2의 곱이므로 아래와 같이 두 식으로 분리할 수 있습니다. 

E(XY)=(1+2+3)3(5+6)2

각 항은 X와 Y의 기댓값입니다. 

E(XY)=E(X)E(Y)


일반화

X와 Y를 각각 원소가 m, n개인 변수라고 합시다. 

X=[x1,x2,...,xn]

Y=[y1,y2,...,ym]

XY의 원소는 위 원소들의 곱의 모든 조합입니다. 개수로는 mn 개입니다. XY의 기댓값은 아래와 같습니다. 

E(XY)=(x1+x2+...+xn)(y1+y2+...+ym)nm

분모를 둘로 나눕시다. 

E(XY)=(x1+x2+...+xn)n(y1+y2+...+ym)m

각각은 X와 Y의 기댓값입니다. 따라서 아래 등식이 성립합니다. 

E(XY)=E(X)E(Y)

 

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