[통계 적률의 이해] 12. 정규분포의 첨도는 왜 3인가

우리는 10강에서 정규분포의 중심적률생성함수를 구했습니다. 아래와 같습니다. 

$M_{x-\mu}(t)=e^{\frac{\sigma^{2}t^{2}}{2}}$

 

11강에서는 정규분포의 중심적률생성함수로 구한 2,3차 중심적률을 이용하여 정규분포의 왜도를 구했습니다. 지난시간에 구한 2,3차 중심적률과 왜도는 아래와 같습니다. 

 

$\mu_{2}=\sigma^{2}$

$\mu_{3}=0$

$\gamma_{1}=\frac{\mu_{3}}{\left ( \mu_{2} \right )^{\frac{3}{2}}}=0$

 

오늘은 정규분포의 중심적률함수를 이용해서 정규분포의 첨도를 계산해보려고 합니다. 첨도를 중심적률로 나타내면 아래와 같습니다. 

$\kappa=\frac{\mu_{4}}{\mu_{2}^2}$

 

4차 중심적률을 구해야합니다. 중심적률생성함수를 세번 미분한 식을 지난 글에서 가져옵시다. 

 

$\frac{d^{3}M_{x-\mu}(t)}{dt^{3}}=
e^{\frac{\sigma^{2}t^{2}}{2}}\left ( \sigma^{2}t \right )^{3}
+2e^{\frac{\sigma^{2}t^{2}}{2}}\sigma^{4}t
+e^{\frac{\sigma^{2}t^{2}}{2}}\sigma^{4}t$

 

한번 더 미분을 해줘야 하는데요. 그 전에 위 식을 간단히 만들어 봅시다. 우변의 두번째 항과 세번째 항을 아래와 같이 합쳐줍니다. 

 

$\frac{d^{3}M_{x-\mu}(t)}{dt^{3}}=
e^{\frac{\sigma^{2}t^{2}}{2}}\left ( \sigma^{2}t \right )^{3}
+3e^{\frac{\sigma^{2}t^{2}}{2}}\sigma^{4}t$

 

위 식을 미분하고 t에 0을 넣은 값이 4차 중심적률입니다. 우변의 첫번째 항은 곱의 미분법으로 미분할 텐데요. 미분된 항들에 t가 포함되어 있기 때문에 t에 0을 넣으면 0이 되어 사라집니다. 우변의 두번째 항도 곱의 미분법으로 미분됩니다. 지수항이 미분될 때는 t가 곱해져 있어 t에 0을 넣으면 0이 되어 사라집니다. 따라서 t가 미분되는 경우만 남겨집니다. 아래와 같습니다. 

 

$\frac{d^{4}M_{x-\mu}(t)}{dt^{4}}=3e^{\frac{\sigma^{2}t^{2}}{2}}\sigma^{4}$

 

t에 0을 넣어도 사라지지 않는 항만 적은 것이니다. 위 식의 t값에 0을 넣은 값이 4차 중심적률입니다. 대입하면 아래와 같습니다. 

 

$\frac{d^{4}M_{x-\mu}(0)}{dt^{4}}=\mu_{4}=3\sigma^{4}$

 

2차 중심적률과 4차 중심적률을 이용하여 첨도를 계산하면 아래와 같습니다. 

 

$\kappa=\frac{\mu_{4}}{\mu_{2}^2}=\frac{3\sigma^4}{\sigma^4}=3$

 

 

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