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@ OO의 이해/적률(Moment)의 이해

[통계 적률의 이해] 11. 정규분포의 왜도 구하기

by bigpicture 2022. 5. 25.
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지난시간에 정규분포의 중심적률생성함수를 구했습니다. 아래와 같습니다. 

Mxμ(t)=eσ2t22

오늘은 정규분포의 중심적률함수를 이용해서 정규분포의 왜도를 계산해보려고 합니다. 왜도를 중심적률로 나타내면 아래와 같습니다. 

γ1=μ3(μ2)32

μ2 는 2차 중심적률, μ3는 3차 중심적률입니다. 

중심적률생성함수를 한번 미분합시다. 

dMxμ(t)dt=eσ2t22σ2t

한번 더 미분합시다. 

d2Mxμ(t)dt2=eσ2t22(σ2t)2+eσ2t22σ2

위 식의 t자리에 0을 넣은 값이 2차 중심적률 μ2 입니다. 2차 중심적률은 아래와 같습니다. 

μ2=σ2

한번 더 미분합시다. 

d3Mxμ(t)dt3=eσ2t22(σ2t)3+2eσ2t22σ4t+eσ2t22σ4t

위 식의 t자리에 0을 넣은 값이 3차 중심적률 μ3 입니다. 위 식에 0을 넣어 계산하면 0입니다. 따라서 3차 중심적률은 아래와 같습니다. 

μ3=0

왜도를 구하는 식에 대입하면 정규분포의 왜도는 0이 나옵니다. 

γ1=0

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