[통계 적률의 이해] 11. 정규분포의 왜도 구하기

 

 

지난시간에 정규분포의 중심적률생성함수를 구했습니다. 아래와 같습니다. 

$M_{x-\mu}(t)=e^{\frac{\sigma^{2}t^{2}}{2}}$

오늘은 정규분포의 중심적률함수를 이용해서 정규분포의 왜도를 계산해보려고 합니다. 왜도를 중심적률로 나타내면 아래와 같습니다. 

$\gamma_{1}=\frac{\mu_{3}}{\left ( \mu_{2} \right )^{\frac{3}{2}}}$

$\mu_{2}$ 는 2차 중심적률, $\mu_{3}$는 3차 중심적률입니다. 

중심적률생성함수를 한번 미분합시다. 

$\frac{dM_{x-\mu}(t)}{dt}=e^{\frac{\sigma^{2}t^{2}}{2}}\sigma^{2}t$

한번 더 미분합시다. 

$\frac{d^{2}M_{x-\mu}(t)}{dt^{2}}=e^{\frac{\sigma^{2}t^{2}}{2}}\left ( \sigma^{2}t \right )^{2}
+e^{\frac{\sigma^{2}t^{2}}{2}}\sigma^{2}$

위 식의 t자리에 0을 넣은 값이 2차 중심적률 $\mu_{2}$ 입니다. 2차 중심적률은 아래와 같습니다. 

$\mu_{2}=\sigma^{2}$

한번 더 미분합시다. 

$\frac{d^{3}M_{x-\mu}(t)}{dt^{3}}=
e^{\frac{\sigma^{2}t^{2}}{2}}\left ( \sigma^{2}t \right )^{3}
+2e^{\frac{\sigma^{2}t^{2}}{2}}\sigma^{4}t
+e^{\frac{\sigma^{2}t^{2}}{2}}\sigma^{4}t$

위 식의 t자리에 0을 넣은 값이 3차 중심적률 $\mu_{3}$ 입니다. 위 식에 0을 넣어 계산하면 0입니다. 따라서 3차 중심적률은 아래와 같습니다. 

$\mu_{3}=0$

왜도를 구하는 식에 대입하면 정규분포의 왜도는 0이 나옵니다. 

$\gamma_{1}=0$