[통계 적률의 이해] 9. 정규분포의 적률생성함수로 평균,분산 구해보기

 

 

지난시간에 유도한 정규분포의 적률생성함수는 아래와 같습니다. 

$M_{X}(t)=E(e^{tX})=e^{ \mu t+\frac{ \sigma^2 t^2   }{2} }$

적률생성함수를 이용하여 평균, 표준편차, 왜도, 첨도를 구해봅시다. 

 

1. 평균

적률생성함수를 한번 미분하고 t에 0을 넣으면 됩니다. 적률생성함수를 한번 미분합시다. 

$\frac{dM_{X}(t)}{dt}=E(Xe^{tX})=e^{ \mu t+\frac{ \sigma^2 t^2   }{2} } \times \left (\mu+\sigma^{2}t  \right )$

t에 0을 넣겠습니다. 

$\left.\begin{matrix} \frac{dM_{X}(t)}{dt} \end{matrix}\right|_{t=0}=E(X)=\mu$

 

2. 분산

분산은 아래와 같이 정의됩니다. 

$V[X]=E\left [ X^{2} \right ]-\left \{ E[X] \right \}^{2}$

평균은 1번에서 구했습니다. X제곱의 평균만 구하면 됩니다. 적률생성함수를 두번 미분합시다. 

$\frac{d^{2}M_{X}(t)}{dt^{2}}=E(X^{2}e^{tX}) =e^{ \mu t+\frac{ \sigma^2 t^2   }{2} } \times \left (\mu+\sigma^{2}t  \right )^{2} + e^{ \mu t+\frac{ \sigma^2 t^2   }{2} } \times \left (\sigma^{2}  \right )$

t에 0을 넣어줍니다. 

$\left.\begin{matrix} \frac{d^{2}M_{X}(t)}{dt^{2}} \end{matrix}\right|_{t=0} =E(X^{2}) =\mu^{2}+\sigma^{2}$

분산을 구하는 수식에 넣어줍니다. 

$V[X]=E\left [ X^{2} \right ]-\left \{ E[X] \right \}^{2} =\mu^{2}+\sigma^{2}-\mu^{2}=\sigma^{2}$

따라서 분산은 아래와 같습니다. 

$V[X]=\sigma^{2}$