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@ OO의 이해/적률(Moment)의 이해

[통계 적률의 이해] 8. 정규분포의 적률생성함수

by bigpicture 2021. 11. 4.
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적률생성함수가 무엇인지 알게되었으니 실제 확률변수에 적용해봅시다. 가장 대표적인 분포인 정규분포를 따르는 확률변수에 적용하겠습니다.

 

적률생성함수의 정의는 아래와 같습니다. 

 

MX(t)=E[etX]=etxf(x)dx

 

정규분포의 확률밀도함수는 아래와 같습니다. 

 

f(x)=1σ2πe12(xμσ)2

 

정규분포의 확률밀도함수를 적률생성함수 수식에 대입합시다. 

 

MX(t)=etx1σ2πe12(xμσ)2dx

 

e에 대한 항 끼리 합쳐주면 아래와 같이 간단히 정리할 수 있습니다.

 

MX(t)=E(etx)=12πσext(xμ)22σ2dx

 

e의 지수항을 아래와 같이 통분해줍시다. 

 

MX(t)=E(etx)=12πσe2xtσ22σ2(xμ)22σ2dx

 

지수항의 두번째 항에서 2(xμ)σ2t+(σ2t)2을 더하고 빼줍시다다. 0을 더한것과 같으므로 등식에 영향을 주지 않습니다. 완전제곱식을 만들어주기 위해 변형한 것입니다. 

 

MX(t)=E(etx)=12πσe2xtσ22σ2(xμ)22(xμ)σ2t+(σ2t)2+2(xμ)σ2t(σ2t)22σ2dx

 

아래와 같이 항을 둘로 분리합니다. 

 

MX(t)=E(etx)=12πσe2xtσ22σ2(xμ)22(xμ)σ2t+(σ2t)22σ22(xμ)σ2t(σ2t)22σ2dx

 

가운데 항을 완전제곱식으로 바꿔줍니다. 

 

MX(t)=E(etx)=12πσe2xtσ22σ2(xμσ2t)22σ22(xμ)σ2t(σ2t)22σ2dx

 

첫번째와 세번째 항을 합쳐줍시다. 

 

MX(t)=E(etx)=12πσe2xtσ22(xμ)σ2t+(σ2t)22σ2(xμσ2t)22σ2dx

 

첫번째 항의 분자를 전개해서 써줍니다. 

 

MX(t)=E(etx)=12πσe2xtσ22xσ2t+2μσ2t+(σ2t)22σ2(xμσ2t)22σ2dx

 

소거가 가능한 항을 소거합니다. 

 

MX(t)=E(etx)=12πσe2μσ2t+(σ2t)22σ2(xμσ2t)22σ2dx

 

첫째항의 분자를 σ2으로 약분합니다. 

 

MX(t)=E(etx)=12πσe2μt+σ2t22(xμσ2t)22σ2dx

 

두 항을 e에 대해 분리해서 적어봅시다. 

 

MX(t)=E(etx)=12πσe2μt+σ2t22e(xμσ2t)22σ2dx

 

적분변수 x와 상관없는 항을 밖으로 꺼냅니다. 

 

MX(t)=E(etx)=e2μt+σ2t2212πσe(xμσ2t)22σ2dx

 

적분 안의 항을 아래와 같이 변형합니다. -로 묶어준 것입니다. 

 

MX(t)=E(etx)=e2μt+σ2t2212πσe(x(μ+σ2t))22σ2dx

 

여기서 적분기호 안에 있는 식을 평균이 μ+σ2t 인 정규분포로 생각할 수 있습니다. 정규분포는 전체 구간에 대한 적분값이 1이므로, 아래와 같이 계산됩니다. 

 

MX(t)=E(etx)=e2μt+σ2t22

 

2를 약분하여 아래와 같이 써줍시다. 

 

MX(t)=E(etx)=eμt+σ2t22

 

정규분포의 적률생성함수가 유도되었습니다. 

 

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댓글

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