반응형
적률생성함수가 무엇인지 알게되었으니 실제 확률변수에 적용해봅시다. 가장 대표적인 분포인 정규분포를 따르는 확률변수에 적용하겠습니다.
적률생성함수의 정의는 아래와 같습니다.
정규분포의 확률밀도함수는 아래와 같습니다.
정규분포의 확률밀도함수를 적률생성함수 수식에 대입합시다.
e에 대한 항 끼리 합쳐주면 아래와 같이 간단히 정리할 수 있습니다.
e의 지수항을 아래와 같이 통분해줍시다.
지수항의 두번째 항에서 을 더하고 빼줍시다다. 0을 더한것과 같으므로 등식에 영향을 주지 않습니다. 완전제곱식을 만들어주기 위해 변형한 것입니다.
아래와 같이 항을 둘로 분리합니다.
가운데 항을 완전제곱식으로 바꿔줍니다.
첫번째와 세번째 항을 합쳐줍시다.
첫번째 항의 분자를 전개해서 써줍니다.
소거가 가능한 항을 소거합니다.
첫째항의 분자를 으로 약분합니다.
두 항을 e에 대해 분리해서 적어봅시다.
적분변수 x와 상관없는 항을 밖으로 꺼냅니다.
적분 안의 항을 아래와 같이 변형합니다. -로 묶어준 것입니다.
여기서 적분기호 안에 있는 식을 평균이 인 정규분포로 생각할 수 있습니다. 정규분포는 전체 구간에 대한 적분값이 1이므로, 아래와 같이 계산됩니다.
2를 약분하여 아래와 같이 써줍시다.
정규분포의 적률생성함수가 유도되었습니다.
반응형
'@ OO의 이해 > 적률(Moment)의 이해' 카테고리의 다른 글
[통계 적률의 이해] 12. 정규분포의 첨도는 왜 3인가 (0) | 2022.08.07 |
---|---|
[통계 적률의 이해] 11. 정규분포의 왜도 구하기 (0) | 2022.05.25 |
[통계 적률의 이해] 10. 정규분포의 중심적률생성함수 (0) | 2022.05.24 |
[통계 적률의 이해] 9. 정규분포의 적률생성함수로 평균,분산 구해보기 (0) | 2021.11.04 |
[통계 적률의 이해] 7. 적률생성함수 수학 거의 없이 이해하기 (0) | 2021.10.27 |
[통계 적률의 이해] 6. 적률생성함수란? (0) | 2021.09.16 |
[통계 적률의 이해] 5. 적률들 한눈에보기 (0) | 2021.09.09 |
[통계 적률의 이해] 4. 표준화적률과 평균,분산,왜도 (0) | 2021.08.20 |
댓글
bigpicture님의
글이 좋았다면 응원을 보내주세요!
이 글이 도움이 됐다면, 응원 댓글을 써보세요. 블로거에게 지급되는 응원금은 새로운 창작의 큰 힘이 됩니다.
응원 댓글은 만 14세 이상 카카오계정 이용자라면 누구나 편하게 작성, 결제할 수 있습니다.
글 본문, 댓글 목록 등을 통해 응원한 팬과 응원 댓글, 응원금을 강조해 보여줍니다.
응원금은 앱에서는 인앱결제, 웹에서는 카카오페이 및 신용카드로 결제할 수 있습니다.