[통계 적률의 이해] 8. 정규분포의 적률생성함수

 

 

적률생성함수가 무엇인지 알게되었으니 실제 확률변수에 적용해봅시다. 가장 대표적인 분포인 정규분포를 따르는 확률변수에 적용하겠습니다.

 

적률생성함수의 정의는 아래와 같습니다. 

 

$M_{X}(t)=E\left [ e^{tX} \right ]=\int_{-\infty}^{\infty}e^{tx}f(x)dx$

 

정규분포의 확률밀도함수는 아래와 같습니다. 

 

$f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}\left ( \frac{x-\mu}{\sigma} \right )^{2}}$

 

정규분포의 확률밀도함수를 적률생성함수 수식에 대입합시다. 

 

$M_{X}(t)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{tx}\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}\left ( \frac{x-\mu}{\sigma} \right )^{2}}dx$

 

e에 대한 항 끼리 합쳐주면 아래와 같이 간단히 정리할 수 있습니다.

 

$M_{X}(t)=E(e^{tx})=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{xt-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}dx$

 

e의 지수항을 아래와 같이 통분해줍시다. 

 

$M_{X}(t)=E(e^{tx})=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{\frac{2xt\sigma^2}{2\sigma^2}-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}dx$

 

지수항의 두번째 항에서 $-2(x-\mu)\sigma^2t+(\sigma^2t)^2$을 더하고 빼줍시다다. 0을 더한것과 같으므로 등식에 영향을 주지 않습니다. 완전제곱식을 만들어주기 위해 변형한 것입니다. 

 

$M_{X}(t)=E(e^{tx})=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{\frac{2xt\sigma^2}{2\sigma^2}-\frac{(x-\mu)^2-2(x-\mu)\sigma^2t+(\sigma^2t)^2+2(x-\mu)\sigma^2t-(\sigma^2t)^2}{2\sigma^2}} dx $

 

아래와 같이 항을 둘로 분리합니다. 

 

$M_{X}(t)=E(e^{tx})=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{\frac{2xt\sigma^2}{2\sigma^2}-\frac{(x-\mu)^2-2(x-\mu)\sigma^2t+(\sigma^2t)^2}{2\sigma^2}
-\frac{2(x-\mu)\sigma^2t-(\sigma^2t)^2}{2\sigma^2}}dx  $

 

가운데 항을 완전제곱식으로 바꿔줍니다. 

 

$M_{X}(t)=E(e^{tx})=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{\frac{2xt\sigma^2}{2\sigma^2}
-\frac{\left(x-\mu-\sigma^2t \right)^2}{2\sigma^2}
-\frac{2(x-\mu)\sigma^2t-(\sigma^2t)^2}{2\sigma^2}}dx  $

 

첫번째와 세번째 항을 합쳐줍시다. 

 

$M_{X}(t)=E(e^{tx})=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{
\frac{2xt\sigma^2 -2(x-\mu)\sigma^2t+(\sigma^2t)^2   }{2\sigma^2}
-\frac{\left(x-\mu-\sigma^2t \right)^2}{2\sigma^2}
}  dx$

 

첫번째 항의 분자를 전개해서 써줍니다. 

 

$M_{X}(t)=E(e^{tx})=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{
\frac{2xt\sigma^2 -2x\sigma^2t+2\mu\sigma^2t+(\sigma^2t)^2   }{2\sigma^2}
-\frac{\left(x-\mu-\sigma^2t \right)^2}{2\sigma^2}
}  dx$

 

소거가 가능한 항을 소거합니다. 

 

$M_{X}(t)=E(e^{tx})=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{
\frac{2\mu\sigma^2t+(\sigma^2t)^2   }{2\sigma^2}
-\frac{\left(x-\mu-\sigma^2t \right)^2}{2\sigma^2}
}  dx$

 

첫째항의 분자를 $\sigma^2$으로 약분합니다. 

 

$M_{X}(t)=E(e^{tx})=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{
\frac{2\mu t+ \sigma^2 t^2   }{2}
-\frac{\left(x-\mu-\sigma^2t \right)^2}{2\sigma^2}
}  dx$

 

두 항을 e에 대해 분리해서 적어봅시다. 

 

$M_{X}(t)=E(e^{tx})=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{
\frac{2\mu t+ \sigma^2 t^2   }{2}
} e^{
-\frac{\left(x-\mu-\sigma^2t \right)^2}{2\sigma^2}
} dx$

 

적분변수 x와 상관없는 항을 밖으로 꺼냅니다. 

 

$M_{X}(t)=E(e^{tx})=e^{
\frac{2\mu t+ \sigma^2 t^2   }{2}
}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{
-\frac{\left(x-\mu-\sigma^2t \right)^2}{2\sigma^2}
} dx$

 

적분 안의 항을 아래와 같이 변형합니다. -로 묶어준 것입니다. 

 

$M_{X}(t)=E(e^{tx})=e^{
\frac{2\mu t+ \sigma^2 t^2   }{2}
}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{
-\frac{\left(x-(\mu+\sigma^2t) \right)^2}{2\sigma^2}
} dx$

 

여기서 적분기호 안에 있는 식을 평균이 $\mu+\sigma^2t$ 인 정규분포로 생각할 수 있습니다. 정규분포는 전체 구간에 대한 적분값이 1이므로, 아래와 같이 계산됩니다. 

 

$M_{X}(t)=E(e^{tx})=e^{
\frac{2\mu t+ \sigma^2 t^2   }{2}
}$

 

2를 약분하여 아래와 같이 써줍시다. 

 

$M_{X}(t)=E(e^{tx})=e^{
\mu t+\frac{ \sigma^2 t^2   }{2}
}$

 

정규분포의 적률생성함수가 유도되었습니다.