[통계 적률의 이해] 4. 표준화적률과 평균,분산,왜도

 

 

1. 적률이 뭔가요

2. 통계에서의 적률
3. 중심적률
4. 표준화적률
5. 적률생성함수

6. 정률생성함수는 어디다 쓸까? 

7. 정규분포의 적률생성함수

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적률과 중심적률을 배운 상태입니다. 적률과 중심적률의 정의는 아래와 같습니다. 

 

$\mu'_{n}=\int_{-\infty}^{\infty}x^{n}f(x)dx$

 

$\mu_{n}=\int_{-\infty}^{\infty}(x-\mu)^{n}f(x)dx$

 

평균, 분산, 왜도를 적률과 중심적률을 이용하여 표현해보았습니다. 

 

평균은 1차 적률입니다. 

 

$mean=\mu'_{1}$

 

분산은 2차 중심적률입니다. 

 

$Variance=\mu_{2}$

 

왜도는 2차 중심적률과 3차 중심적률을 이용하여 표현할 수 있습니다. 

 

$Skewness=\frac{ \mu_{3} }{\mu_{2}^{\frac{3}{2}}}$

 

적률을 한가지 더 정의합시다. 표준화적률인데요. 왜도도 쉽게 표현할 수 있게 됩니다. 표준화적률은 아래와 같이 정의됩니다. 

 

$\tilde{\mu}_{n}=\frac{\mu_{n}}{\sigma^{n}}$

 

n차 중심적률을 표준편차의 n제곱으로 나눈 값입니다.

 

n차 중심적률을 기댓값으로 표현하면 위 식을 변형할 수 있습니다. n차 중심적률은 아래와 같습니다. 

 

$\mu_{n}=E[(x-\mu)^{n}]$

 

표준화적률 수식에 대입합시다. 아래와 같습니다. 

 

$\tilde{\mu}_{n}=\frac{\mu_{n}}{\sigma^{n}}=\frac{E[(x-\mu)^{n}]}{\sigma^{n}}$

 

아래와 같이 변형됩니다. 

 

$\tilde{\mu}_{n}=\frac{\mu_{n}}{\sigma^{n}}=E\left [ \left ( \frac{x-\mu}{\sigma} \right )^{n} \right ]$

 

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1차 표준화적률

1차 표준화적률은 아래와 같습니다. 

 

$\tilde{\mu}_{1}=\frac{\mu_{1}}{\sigma^{1}}$

 

1차 중심적률이 0이므로 1차 표준화적률도 0입니다. 표준편차가 0인 경우는 정의되지 않습니다. 

 

$\tilde{\mu}_{1}=\frac{0}{\sigma^{1}}=0$

 

 

2차 표준화적률

2차 표준화적률은 아래와 같습니다.

 

$\tilde{\mu}_{2}=\frac{\mu_{2}}{\sigma^{2}}$

 

2차 중심적률은 분산입니다. 분모도 표준편차의 제곱이라 분산입니다. 따라서 결과는 1입니다. 

 

$\tilde{\mu}_{2}=\frac{V(X)}{V(X)}=1$

 

 

3차 표준화적률

3차 표준화적률은 아래와 같습니다.

 

$\tilde{\mu}_{3}=\frac{\mu_{3}}{\sigma^{3}}$

 

3차 중심적률은 $E[(X-\mu)^{3}]$ 입니다. 대입해봅시다. 

 

$\tilde{\mu}_{3}=\frac{E[(X-\mu)^{3}]}{\sigma^{3}}$

 

왜도입니다. 

$\tilde{\mu}_{3}=\frac{E[(X-\mu)^{3}]}{\sigma^{3}}=\gamma_{1}$

 

4차 표준화적률

4차 표준화적률은 아래와 같습니다.

 

$\tilde{\mu}_{4}=\frac{\mu_{4}}{\sigma^{4}}$

 

4차 중심적률은 $E[(X-\mu)^{4}]$ 입니다. 대입해봅시다. 

 

$\tilde{\mu}_{4}=\frac{E[(X-\mu)^{4}]}{\sigma^{4}}$

 

첨도입니다. 

$\tilde{\mu}_{4}=\frac{E[(X-\mu)^{4}]}{\sigma^{4}}=\gamma_{2}$

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정리해봅시다. 

 

평균과 표준편차는 표준화적률로 나타낼 수 없습니다. 

 

왜도는 3차 표준화적률, 첨도는 4차 표준화적률입니다.