[통계 적률의 이해] 2. 통계에서의 적률과 평균,분산,왜도

 

 

목차

1. 적률이 뭔가요

2. 통계에서의 적률
3. 중심적률
4. 표준화적률
5. 적률생성함수

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지난 시간에 배운 n차 적률의 수학적 정의는 아래와 같습니다. 

 

$\mu_{n}=\int_{-\infty}^{\infty}(x-c)^{n}f(x)dx$

 

통계에서 '적률'이라고 하면 c=0 인 적률을 말합니다. 위첨자를 붙여서 사용합니다. 

 

$\mu'_{n}=\int_{-\infty}^{\infty}x^{n}f(x)dx$

 

통계에서는 적률 외에도 '중심 적률'과 '표준화 적률'도 정의해서 사용합니다. 다음 시간에 배우기로 하고 오늘은 적률을 공부해봅시다. 

 

1차 적률

1차 적률을 구해보면 아래와 같습니다. 

 

$\mu'_{1}=\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx$

 

평균의 정의와 같습니다. 따라서 1차 적률은 평균입니다. 

 

$\mu'_{2}=\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx=E\left [ X \right ]$

 

2차 적률은 아래와 같습니다. 

 

$\mu'_{2}=\int_{-\infty}^{\infty}x^{2}f(x)dx$

 

2차 적률

2차적률은 $X^{2}$ 의 평균입니다. 

 

$\mu'_{2}=\int_{-\infty}^{\infty}x^{2}f(x)dx=E\left [ X^{2} \right ]$

 

n차 적률

n차 적률은 $X^{n}$ 의 평균입니다. 

 

$\mu'_{n}=\int_{-\infty}^{\infty}x^{n}f(x)dx=E\left [ X^{n} \right ]$

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이번에는 통계량의 관점에서 생각해봅시다.

 

평균

평균은 1차 적률입니다. 

 

$E(X)=\mu'_{1}$

 

분산

분산은 1,2차 적률을 이용하여 표현할 수 있습니다. 

 

$V(X)=E(X^{2})-E(X)^{2}=\mu'_{2}-\left \{ \mu'_{1} \right \}^{2}$

 

왜도

왜도는 어떨까요? 왜도의 정의는 아래와 같습니다. 

 

$\gamma _{1}=E \left [ \left ( \frac{X- \mu}{\sigma} \right )^{3} \right ]$

 

분자와 분모를 나눠서 써줍시다. 

 

$\gamma _{1}=\frac{E\left [(X-\mu)^{3} \right ]}{\sigma^{3}}$

 

표준편차는 분산의 제곱근이므로 아래와 같이 바꿔쓸 수 있습니다. 

 

$\gamma _{1}=\frac{E\left [(X-\mu)^{3} \right ]}{V(X)^{\frac{3}{2}}}$

 

분자를 전개합시다. 

 

$\gamma _{1}=\frac{E\left [ X^{3}-3X^{2}\mu+3X\mu^{2}-\mu^{3}   \right ]}{V(X)^{\frac{3}{2}}}$

 

아래와 같이 나눠서 써줍시다. 

 

$\gamma _{1}=\frac{
E\left [ X^{3} \right ]-E\left [ 3 X^{2} \mu\right]+E\left [ 3 X\mu^{2} \right]-E\left [ \mu^{3} \right]
}{V(X)^{\frac{3}{2}}}$

 

상수항들을 밖으로 꺼내줍시다. 

 

$\gamma _{1}=\frac{
E\left [ X^{3} \right ]-3 \mu E\left [ X^{2}\right]+3 \mu^{2} E\left [ X \right]- \mu^{3}
}{V(X)^{\frac{3}{2}}}$

 

$\mu$ 를 $E[X]$로 바꿔줍시다. 

 

$\gamma _{1}=\frac{
E\left [ X^{3} \right ]-3 E[X] E\left [ X^{2}\right]+3 E[X]^{2} E\left [ X \right]- E[X]^{3}
}{V(X)^{\frac{3}{2}}}$

 

아래와 같이 계산해줍시다. 

 

$\gamma _{1}=\frac{
E\left [ X^{3} \right ]-3 E[X] E\left [ X^{2}\right]+2  E[X]^{3}
}{V(X)^{\frac{3}{2}}}$

 

1차 적률과 2차 적률을 대입해줍니다. 

 

$\gamma _{1}=\frac{
\mu'_{3}-3 \mu'_{1} \mu'_{2}+2  \left \{ \mu'_{1} \right \}^{3}
}{\left [ \mu'_{2}-\left \{ \mu'_{1} \right \}^{2} \right ]^{\frac{3}{2}}}$

 

너무 복잡합니다. 첨도는 더 복잡할겁니다. '중심 적률'을 정의하면 수식이 훨씬 간단해집니다. 다음시간에 배워봅시다.