[통계 적률의 이해] 3. 중심적률과 평균,분산,왜도

 

 

1. 적률이 뭔가요

2. 통계에서의 적률
3. 중심적률
4. 표준화적률
5. 적률생성함수

---

지난시간에는 적률을 이용해서 평균,분산,왜도를 표현해보았습니다. 아래와 같습니다. 

 

$E(X)=\mu'_{1}$

 

$V(X)=E(X^{2})-E(X)^{2}=\mu'_{2}-\left \{ \mu'_{1} \right \}^{2}$

 

$\gamma _{1}=\frac{ \mu'_{3}-3 \mu'_{1} \mu'_{2}+2  \left \{ \mu'_{1} \right \}^{3} }{\left [ \mu'_{2}-\left \{ \mu'_{1} \right \}^{2} \right ]^{\frac{3}{2}}}$

 

$\mu'_{1}$ 은 1차적률, $\mu'_{2}$ 는 2차적률입니다. 

 

분산 까지는 괜찮은데 왜도는 상당히 복잡합니다. 이런 이유에서 만든 것인지는 모르겠지만, 중심적률을 정의해서 사용하면 분산과 왜도의 표현이 간단해집니다. 

 

중심적률은 아래와 같이 정의됩니다. 적률의 수학적 정의에서 c에 평균을 넣은 것입니다. 

 

$\mu_{n}=\int_{-\infty}^{\infty}(x-\mu)^{n}f(x)dx$

 

몇가지 중심적률을 구해봅시다. 

 

1차 중심적률

1차 중심적률은 아래와 같습니다. 

 

$\mu_{1}=\int_{-\infty}^{\infty}(x-\mu)f(x)dx$

 

$x-\mu$의 기댓값입니다. 

 

$\mu_{1}=\int_{-\infty}^{\infty}(x-\mu)f(x)dx=E[X-\mu]$

 

아래와 같이 변형할 수 있습니다. 

 

$\mu_{1}=\int_{-\infty}^{\infty}(x-\mu)f(x)dx=E[X]-\mu$

 

$E[X]$는 $\mu$이므로 0입니다. 

 

$\mu_{1}=\int_{-\infty}^{\infty}(x-\mu)f(x)dx=E[X]-\mu=0$

 

2차 중심적률

2차 중심적률은 아래와 같습니다.

 

$\mu_{2}=\int_{-\infty}^{\infty}(x-\mu)^{2}f(x)dx$

 

$(x-\mu)^{2}$의 기댓값입니다. 

 

$\mu_{2}=\int_{-\infty}^{\infty}(x-\mu)^{2}f(x)dx=E[(x-\mu)^{2}]$

 

$E[(x-\mu)^{2}]$는 분산입니다. 따라서 2차 적률은 분산입니다. 

 

$\mu_{2}=V(x)$

 

 

n차 중심적률

n차 중심적률은 아래와 같습니다. 

 

$\mu_{n}=\int_{-\infty}^{\infty}(x-\mu)^{n}f(x)dx$

 

$(x-\mu)^{n}$의 기댓값입니다. 

 

$\mu_{n}=\int_{-\infty}^{\infty}(x-\mu)^{n}f(x)dx=E[(x-\mu)^{n}]$

---

이번에는 통계량의 관점에서 생각해봅시다.

 

평균

중심적률로는 평균을 표현할 수 없습니다. 

 

분산

분산은 2차 중심적률입니다. 

 

$V(X)=\mu_{1}$

 

왜도

왜도의 정의는 아래와 같습니다.

 

$\gamma _{1}=E \left [ \left ( \frac{X- \mu}{\sigma} \right )^{3} \right ]$

 

분자와 분모를 나눠서 써줍시다.

 

$\gamma _{1}=\frac{E\left [(X-\mu)^{3} \right ]}{\sigma^{3}}$

 

분자는 3차 중심적률입니다. 

 

$\gamma _{1}=\frac{ \mu_{3} }{\sigma^{3}}$

 

분모의 표준편차는 2차 중심적률에 루트를 씌운 것입니다. 

 

$\gamma _{1}=\frac{ \mu_{3} }{\left ( \sqrt{\mu_{2}} \right )^{3}}$

아래와 같이 표현할 수도 있습니다. 

 

$\gamma _{1}=\frac{ \mu_{3} }{\mu_{2}^{\frac{3}{2}}}$