[통계 적률의 이해] 10. 정규분포의 중심적률생성함수

 

 

지난 시간에 우리는 정규분포의 적률생성함수를 이용하여 평균과 분산을 구했습니다. 우리가 구했던 정규분포의 적률생성함수는 아래와 같습니다. 

 

$M_{X}(t)=E(e^{tX})=e^{ \mu t+\frac{ \sigma^2 t^2   }{2} }$

 

이제 왜도를 구할 차례인데요. 1,2,3차 적률을 이용하여 왜도를 구하는 방법은 아래와 같습니다. 

 

$\gamma _{1}=\frac{ \mu'_{3}-3 \mu'_{1} \mu'_{2}+2  \left \{ \mu'_{1} \right \}^{3} }{\left [ \mu'_{2}-\left \{ \mu'_{1} \right \}^{2} \right ]^{\frac{3}{2}}}$

 

중심적률을 이용하면 훨씬 간단하게 구할 수 있었습니다.

 

$\gamma _{1}=\frac{ \mu_{3} }{\mu_{2}^{\frac{3}{2}}}$

 

중심적률이 무엇인지 잊으신 분들은 아래 표를 참고해주세요.

 

이름	기호	정의	기댓값 형태	통계량과의 관계
적률	$\mu_{n}'$	$\int_{-\infty}^{\infty}x^{n}f(x)dx$	$E\left [ X^{n} \right ]$	평균 = $\mu_{1}'$
중심적률	$\mu_{n}$	$\int_{-\infty}^{\infty}(x-\mu)^{n}f(x)dx$	$E\left [ \left ( X-\mu \right )^{n} \right ]$	분산 = $\mu_{2}$
표준화적률	$\tilde{\mu}_{n}$	$\frac{\mu_{n}}{\sigma^{n}}$	$E\left [ \left ( \frac{X-\mu}{\sigma} \right )^{n} \right ]$	왜도 = $\tilde{\mu}_{3}$ 첨도= $\tilde{\mu}_{4}$

 

중심적률을 쉽게 계산하기 위해 중심적률생성함수를 먼저 유도해야합니다. 정규분포의 중심적률생성함수를 유도해봅시다.

 

정규분포를 따르는 확률변수 X가 있다고 합시다. 

 

$X \sim N\left ( \mu,\sigma^{2} \right )$

 

중심적률생성함수는 아래와 같이 정의됩니다. 적률생성함수의 $X$ 대신 $X-\mu$를 넣어주면 됩니다. 

 

$M_{x-\mu}(t)=E\left [ e^{t(x-\mu)} \right ]=\int_{-\infty}^{\infty}e^{t(x-\mu)}f(x)dx$

 

우변은 아래와 같이 변형됩니다. 

 

$M_{x-\mu}(t)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{tx} e^{-t\mu}f(x)dx$

 

적분과 무관한 항을 밖으로 꺼내줍시다. 

 

$M_{x-\mu}(t)=e^{-t\mu}\int_{-\infty}^{\infty}e^{tx} f(x)dx$

 

우변의 두번째 인수는 정규분포의 정률생성함수입니다. 정규분포의 적률생성함수는 이미 구한 상태이므로 대입해줍니다. 

 

$M_{x-\mu}(t)=e^{-t\mu}e^{\mu t+\frac{\sigma^{2}t^{2}}{2}}$

 

아래와 같이 계산합니다. 

 

$M_{x-\mu}(t)=e^{\frac{\sigma^{2}t^{2}}{2}}$

 

정규분포의 중심적률생성함수가 유도되었습니다.