[통계 적률의 이해] 14. 적률생성함수가 없는 분포도 있다

모든 확률분포에서 적률생성함수가 항상 존재하는 것은 아닙니다. 적률생성함수가 존재하지 않는 확률분포

도 있습니다. 오늘은 적률생성함수가 존재하지 않는 확률분포를 한가지 알아봅시다. 

 

아래와 같은 확률분포인데요. Cauchy 분포의 일종입니다. 

$f(x)=\frac{1}{\pi}\frac{1}{x^2+1}$

 

Cauchy 분포의 일반형은 아래와 같습니다. 

$f(x;x_{0},\gamma)=\frac{1}{\pi \gamma \left [ 1+\left ( \frac{x-x_{0}}{\gamma} \right )^2 \right ]}$

위에서 소개한 분포는 Cauchy 분포에서 $x_{0}$ 이 0이고, $\gamma$가 1인 경우입니다. 

 

지금부터 아래 분포의 적률생성함수를 구해봅시다. 

$f(x)=\frac{1}{\pi}\frac{1}{x^2+1}$

확률변수 X가 위 확률분포를 따를 때, 적률생성함수는 아래와 같습니다. 

$M_{X}(t)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{tx}\frac{1}{\pi}\frac{1}{x^2+1}dx$

결과부터 말씀드리면 위 적률생성함수는 무한대로 발산합니다. 왜 그런지 증명해봅시다. 

$e^x$ 는 증가함수 이고 0에서의 미분값이 1입니다. 따라서 0보다 큰 t와 x에 대해 아래 부등식이 성립합니다. 

$\frac{e^{tx}-e^0}{tx-0}>1$

아래와 같이 변형할 수 있습니다. 

$e^{tx}-1>tx$

이항합니다. 

$e^{tx}>tx+1$

아래 부등식도 성립합니다. 

$e^{tx}>tx$

위 부등식을 적률생성함수 식에 대입하기 전에 아래 부등식을 먼저 세워봅시다. 

$M_{X}(t)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{tx}\frac{1}{\pi}\frac{1}{x^2+1}dx
> \int_{0}^{\infty}e^{tx}\frac{1}{\pi}\frac{1}{x^2+1}dx$

 

코시분포의 적률생성함수 식에서 적분 안의 항이 양수이므로 적분구간을 0부터로 바꾸는 것이 가능합니다. 

 

이번에는 위에서 유도한 부등식을 이용하여 아래 수식을 세워봅시다. 

 

$M_{X}(t)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{tx}\frac{1}{\pi}\frac{1}{x^2+1}dx
> \int_{0}^{\infty}e^{tx}\frac{1}{\pi}\frac{1}{x^2+1}dx>
\int_{0}^{\infty} \frac{1}{\pi}\frac{tx}{x^2+1}dx$

맨 오른쪽 항에서 적분과 무관한 인수를 밖으로 꺼냅니다. 

$M_{X}(t)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{tx}\frac{1}{\pi}\frac{1}{x^2+1}dx
> \int_{0}^{\infty}e^{tx}\frac{1}{\pi}\frac{1}{x^2+1}dx>
\frac{t}{\pi}\int_{0}^{\infty} \frac{x}{x^2+1}dx$

$\frac{x}{x^2+1}$ 을 적분하면 $\frac{1}{2}\ln(x^2+1)+C$ 이므로 맨 오른쪽 항은 무한대로 발산합니다. 따라서 코시분포의 적률생성함수도 무한대로 발산합니다. 

 

오늘 소개한 분포 뿐만 아니라 잘 알려진 t분포도 적률생성함수가 존재하지 않습니다. 따라서 우리는 적률생성함수 대신 특성함수라는 것을 주로 사용합니다. 특성함수는 항상 존재하기 때문입니다. 다음시간 부터 특성함수에 대해 배워봅시다. 

 

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