[통계 적률의 이해] 15. 특성함수

적률생성함수가 존재하지 않는 확률분포들이 있다는 것을 배웠습니다. 자주 사용되는 t분포도 적률생성함수가 없었습니다. 

적률생성함수와 같은 역할을 하면서, 모든 확률분포에서 존재하는 함수가 발견되었습니다. 이 함수가 특성함수입니다. 

특성함수는 적률생섬함수의 t 대신 it 를 넣은 함수입니다. 아래와 같이 정의됩니다. 그리스어 phi 를 기호로 사용합니다. 

$\varphi_{X}(t)=E\left [ e^{itX} \right ]=\int_{-\infty}^{\infty}e^{itx}f(x)dx$

여기서 $\varphi$ 는 그리스어인데 fi 또는 fie 로 발음합니다. 적률생성함수는 아래와 같이 정의됐었습니다. 

$M_{X}(t)=E\left [ e^{tX} \right ]=\int_{-\infty}^{\infty}e^{tx}f(x)dx$

특성함수도 적률생성함수 처럼 아래 명제가 성립합니다. 

두 확률변수 X 와 Y의 특성함수가 같으면 두 확률변수의 확률분포도 같다. (역도 성립)

두 확률변수 X 와 Y의 적률생성함수가 같으면 두 확률변수의 확률분포도 같다. (역도 성립)

증명은 적률생성함수에서 한 것과 동일하기 때문에 생략하겠습니다.