[통계 적률의 이해] 13. 적률생성함수가 같으면 같은 분포일까

두 확률변수의 확률분포가 같으면, 적률생성함수는 확률분포를 적분하여 구하는 것이므로 적률생성함수도 당연히 같습니다. 

 

반대로 두 확률변수의 적률생성함수가 같다고 합시다. 이때 두 확률변수의 확률분포는 같다고 할 수 있을까요? 대답은 yes 입니다. 어떻게 그럴 수 있는지 수학적으로 유도해 봅시다. 

 

두 확률변수 X와 Y의 적률생성함수가 같다면 아래 등식이 성립합니다. 

$\int_{-\infty}^{\infty}  e^{tx}f(x)dx=\int_{-\infty}^{\infty}  e^{ty}f(y)dy$

좌변과 우변의 변수를 z로 바꿔줍시다. 어차피 모든 구간에서 적분되는 것이므로 z로 바꿔도 결과가 같습니다. 

$\int_{-\infty}^{\infty}  e^{tz}f_{X}(z)dz=\int_{-\infty}^{\infty}  e^{tz}f_{Y}(z)dz$

아래와 같이 이항하여 묶어줍니다. 

$\int_{-\infty}^{\infty}  e^{tz}\left \{ f_{X}(z)-f_{Y}(z) \right \}dz=0$

$e^{tz}$는 항상 양수입니다. 임의의 t에 대해 위 등식이 성립하려면 $f_{X}(z)-f_{Y}(z)$ 이 0이어야 합니다. 따라서 아래 등식이 성립합니다. 

$f_{X}(z)=f_{Y}(z)$

 

분포함수 $f_{X}$ 와 $f_{Y}$는 같습니다. 

 

따라서 아래 명제가 성립합니다. 

 

두 확률변수 X 와 Y의 적률생성함수가 같으면 두 확률변수의 확률분포도 같다. (역도 성립)

 

 

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