[통계 적률의 이해] 16. 특성함수가 항상 존재하는 이유

적률생성함수가 존재하지 않는 경우에는 특성함수를 사용할 수 있습니다. 특성함수는 모든 확률분포에 대해 존재하기 때문입니다. 오늘은 정말 그러한지를 증명해봅시다. 

 

먼저 특성함수가 존재한다는 의미가 무엇인지 짚고 넘어가겠습니다. 특성함수가 존재한다는 것은 t에 대한 특성함수 값이 유한하다는 의미입니다. 

확률변수 X의 확률밀도함수가 f(x) 일 때, 특성함수는 아래와 같이 정의됩니다. 

$\varphi_{X}(t)=E\left [ e^{itx} \right ]=\int_{-\infty}^{\infty}e^{itX}f(x)dx$

양변에 절댓값을 씌워줍시다. 

$\left | \varphi_{X}(t) \right |=\left | \int_{-\infty}^{\infty}e^{itX}f(x)dx \right |$

아래 부등식을 이용할 것입니다.

$\left | \int_{a}^{b}f(t)dt \right |\leq 
\int_{a}^{b}\left | f(t) \right |dt$

증명은 글 맨 아래 첨부한 링크를 참고하세요. 우리가 유도하던 식에 위 부등식을 적용하면 아래와 같습니다. 
 
$\left | \varphi_{X}(t) \right |=\left | \int_{-\infty}^{\infty}e^{itx}f(x)dx \right |\leq 
\int_{-\infty}^{\infty}\left | e^{itx}f(x) \right |dx$

맨 오른쪽 항은 아래와 같이 변형됩니다. 

$\left | \varphi_{X}(t) \right |=\left | \int_{-\infty}^{\infty}e^{itx}f(x)dx \right |\leq 
\int_{-\infty}^{\infty}\left | e^{itx} \right |\left | f(x) \right | dx$

$e^{itx}$의 크기는 1입니다. 오일러 공식에 의해 $e^{ix}=\cos x +i\sin x$ 입니다. 절댓값은 $\cos x ^{2}+\sin x^{2}=1$ 입니다. 

 

따라서 아래와 같이 변형됩니다. 

$\left | \varphi_{X}(t) \right |=\left | \int_{-\infty}^{\infty}e^{itx}f(x)dx \right |\leq 
\int_{-\infty}^{\infty}\left | f(x) \right | dx$

맨 오른쪽 항은 확률분포를 전체 구간에 대해 적분한 것이므로 1입니다. 

$\left | \varphi_{X}(t) \right |=\left | \int_{-\infty}^{\infty}e^{itx}f(x)dx \right |\leq 
1$

따라서 아래 등식이 성립합니다 .

$\left | \varphi_{X}(t) \right | \leq 
1$

t에 대한 특성함수 값이 유한하다는 것이 증명되었습니다. 

 

 

Rerefence

1. 복소수 부등식 증명 링크
https://proofwiki.org/wiki/Modulus_of_Complex_Integral