[손으로 푸는 통계 ver1.0] 79. aX가 정규분포를 다를 때, X도 정규분포를 따를까

 

 

변수 aX가 평균이 $\mu$이고, 분산이 $\sigma^{2}$인 정규분포를 따른다고 합시다. 기호로는 아래와 같이 나타냅니다. 

$aX \sim N \left( \mu,\sigma^{2}  \right)$

 

aX의 확률밀도함수를 f(ax), 누적분포함수를 F(ax)라고 놓겠습니다. F(ax) 는 아래와 같이 정의됩니다. 

 

P[aX<ax]

 

우리가 궁금한 것은 X의 분포입니다. X의 확률밀도함수를 g(x), 누적분포함수를 G(x)라고 놓겠습니다. G(x)는 아래와 같이 정의됩니다. 

$G(x)=P\left[ X \leq x  \right]$

우변 괄호 안 부등식의 양 변에 a를 곱해줍니다. 

 

a의 범위에 따라 둘로 나뉩니다. 

 

1) a가 양수인 경우

$G(x)=P\left[ aX \leq ax  \right]$

 

aX의 누적분포함수를 F 라고 놓는다면 아래 등식을 얻습니다. 

$G(x)=F\left( ax \right)$

양변을 미분합시다. 

$g(x)=af\left( ax \right)$

f 는 정규분포의 확률분포함수입니다. 따라서 아래와 같이 변형할 수 있습니다. 

$g(x)=a\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}\left ( \frac{ax-\mu}{\sigma} \right )^{2}}$

아래와 같이 정리해줍시다. 

$g(x)=\frac{1}{\frac{\sigma}{a} \sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}\left ( \frac{x-\frac{\mu}{a}}{\frac{\sigma}{a}} \right )^{2}}$

우변은 평균이 $\frac{\mu}{a}$이고, 표준편차가 $\frac{\sigma}{a}$인 정규분포입니다. 

 

2) a가 음수인 경우 

부등식의 양변을 a로 나눠줍니다. 부등호 방향이 바뀝니다. 

$G(x)=P\left[ aX \geq ax  \right]$

aX의 누적분포함수를 F라고 놓는다면 아래 등식을 얻습니다. 

$G(x)=1-F\left( ax \right)$

양변을 미분합시다. 

$g(x)=-af\left( ax \right)$

f(x)는 정규분포의 확률분포함수입니다. 따라서 아래와 같이 변형할 수 있습니다. 

$g(x)=-a\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}\left ( \frac{ax-\mu}{\sigma} \right )^{2}}$

아래와 같이 정리해줍시다. 

$g(x)=\frac{1}{\frac{\sigma}{-a} \sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}\left ( \frac{x-\frac{\mu}{a}}{\frac{\sigma}{a}} \right )^{2}}$

우변은 평균이 $\frac{\mu}{a}$이고, 표준편차가 $-\frac{\sigma}{a}$인 정규분포입니다. 

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아래와 같이 a에 절댓값을 씌워주면 a가 음수인 경우와 양수인 경우의 분포를 하나로 표현할 수 있습니다. 

$g(x)=\frac{1}{\left| \frac{\sigma}{a}  \right|\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}\left ( \frac{x-\frac{\mu}{a}}{\frac{\sigma}{a}} \right )^{2}}$

아래와 같은 결론을 얻을 수 있습니다. 

 

변수 aX가 평균이 $\mu$이고, 분산이 $\sigma^{2}$인 정규분포를 따를 경우, 확률변수 X는 평균이 $\frac{\mu}{a}$이고, 표준편차가 $\left| \frac{\sigma}{a} \right| $인 정규분포를 따릅니다.