정규 분포에서는 아래 성질이 성립했습니다.
변수 aX가 평균이 μ이고, 분산이 σ2인 정규분포를 따를 경우, 확률변수 X는 평균이 μa이고, 표준편차가 ∣∣σa∣∣인 정규분포를 따릅니다.
카이제곱분포에서는 어떨까요?
변수 aX가 자유도가 n-1인 카이제곱분포를 따른다고 합시다. 기호로는 아래와 같이 나타냅니다.
aX∼χ2n−1
aX의 확률밀도함수를 f(ax), 누적분포함수를 F(ax)라고 놓겠습니다. F(ax) 는 아래와 같이 정의됩니다.
P[aX≤ax]
우리가 궁금한 것은 X의 분포입니다. X의 확률밀도함수를 g(x), 누적분포함수를 G(x)라고 놓겠습니다. G(x)는 아래와 같이 정의됩니다.
G(x)=P[X≤x]
우변 괄호 안 부등식의 양 변에 a를 곱해줍니다.
a의 범위에 따라 둘로 나뉩니다.
1) a가 양수인 경우
G(x)=P[aX≤ax]
aX의 누적분포함수를 F 라고 놓는다면 아래 등식을 얻습니다.
G(x)=F(ax)
양변을 미분합시다.
g(x)=af(ax)
f 는 카이제곱분포의 확률분포함수입니다. f는 음수에서는 정의되지 않기 때문에 ax≥0 조건이 필요합니다. a가 양수이므로, x≥0 조건이면 됩니다. 따라서 아래와 같이 변형할 수 있습니다.
g(x)=a12n−12Γ(n−12)(ax)n−12−1e−ax2
(x≥0)
정리해 보려고 했는데 안되네요. 그냥 이런 분포입니다.
2) a가 음수인 경우
부등식의 양변을 a로 나눠줍니다. 부등호 방향이 바뀝니다.
G(x)=P[aX≥ax]
aX의 누적분포함수를 F라고 놓는다면 아래 등식을 얻습니다.
G(x)=1−F(ax)
양변을 미분합시다.
g(x)=−af(ax)
f(x)는 정규분포의 확률분포함수입니다. f는 음수에서는 정의되지 않기 때문에 ax≥0 조건이 필요합니다. a가 음수이므로, x≤0 조건이면 됩니다. 따라서 아래와 같이 변형할 수 있습니다.
g(x)=−a12n−12Γ(n−12)(ax)n−12−1e−ax2
(x≤0)
정리해 보려고 했는데 안되네요.
정리하면 아래와 같습니다.
aX가 n-1자유도 카이제곱분포를 따를 때, X는 아래 분포를 따른다 .
1) a>0 인 경우
g(x)=a12n−12Γ(n−12)(ax)n−12−1e−ax2
(x≥0)
2) a<0인 경우
g(x)=−a12n−12Γ(n−12)(ax)n−12−1e−ax2
(x≤0)
우리가 다루던 표본분산의 분포는 아래와 같습니다.
n−1σ2s2∼χ2n−1
a에 해당되는 부분이 양수이므로, 대입하면 아래와 같은 분포함수를 얻습니다 .
g(x)=n−1σ212n−12Γ(n−12)(n−1σ2x)n−12−1e−n−1σ2x2
카이제곱분포 함수 선에서 처리가 가능할 줄 알았는데 전혀 다른 형태의 함수가 되었습니다. 위 함수를 사용하는 것 보다는 n−1σ2s2 형태로 사용하는게 나을 것 같습니다.
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