[손으로 푸는 통계 ver1.0] 81. 카이제곱분포의 평균 유도

 

 

우리는 아래 수식을 유도했습니다. 

 

$\frac{n-1}{\sigma^{2}}s^{2} \sim \chi^{2}_{n-1}$

 

표본분산에 상수가 곱해진 확률변수가 n-1 자유도인 카이제곱분포를 따른다는 의미입니다. n-1 자유도의 카이제곱분포 함수는 아래와 같습니다. 

 

$f(x)=\frac{1}{2^{\frac{n-1}{2}}
\Gamma \left ( \frac{n-1}{2} \right )
}
e^{-\frac{x}{2}} x^{\frac{n-1}{2}-1}$

 

오늘은 카이제곱분포의 평균을 유도해보겠습니다. 유도해놓으면 분명 뒤에서 써먹을 일이 있을것 같아요. 수식을 편하게 다루기 위해 n자유도의 카이제곱분포에서 평균을 유도하겠습니다. 

 

$f(x)=\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}
\Gamma \left ( \frac{n}{2} \right )
}
e^{-\frac{x}{2}} x^{\frac{n}{2}-1}$

 

평균은 아래와 같이 정의됩니다. 카이제곱분포의 정의역이 0이상이라 적분구간이 0부터 시작합니다. 

 

$E[X]=\int_{0}^{\infty}xf(x)dx=\int_{0}^{\infty}x\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}
\Gamma \left ( \frac{n}{2} \right )
}
e^{-\frac{x}{2}} x^{\frac{n}{2}-1}dx$

 

아래와 같이 계산해줍니다. 

 

$E[X]=\int_{0}^{\infty}\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}
\Gamma \left ( \frac{n}{2} \right )
}
e^{-\frac{x}{2}} x^{\frac{n}{2}}dx$

 

x를 계산해준 것입니다. 적분과 상관없는 항을 밖으로 꺼내줍시다. 

 

$E[X]=
\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\Gamma \left ( \frac{n}{2} \right )}
\int_{0}^{\infty}
e^{-\frac{x}{2}} x^{\frac{n}{2}}dx$

 

부분적분법을 적용합니다. 

 

$E[X]=
\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\Gamma \left ( \frac{n}{2} \right )}
\left\{ \left[-2e^{-\frac{x}{2}}x^{\frac{n}{2}}  \right]^{\infty}_{0}+n\int_{0}^{\infty}
e^{-\frac{x}{2}} x^{\frac{n}{2}-1}dx  \right\}$

 

대괄호를 계산합시다. 대괄호 안에 있는 항의 x값을 0으로 보내면 전체 값이 0이 됩니다. x를 무한대로 보낼 때가 문제인데요. 수식으로 표현하면 아래와 같습니다. 아래 극한값을 구해야합니다. 

 

$\lim_{x \rightarrow \infty}e^{-\frac{x}{2}}x^{\frac{n}{2}} $

 

아래와 같이 변형합시다. 

 

$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x^{\frac{n}{2}}}{e^{\frac{x}{2}}}$

 

로피탈 정리를 사용합시다. 분자와 분모를 한 번 미분하면 아래와 같습니다. 

 

(한번 미분) $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\frac{n}{2}x^{\frac{n}{2}-1}}{\frac{1}{2}e^{\frac{x}{2}}}$

 

두번 미분하면 아래와 같습니다. 

 

(두번 미분) $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\left ( \frac{n}{2} \right )\left ( \frac{n}{2}-1 \right )
x^{\frac{n}{2}-2}}{\left ( \frac{1}{2} \right )^{2}e^{\frac{x}{2}}}$

 

k번 미분하면 아래와 같습니다. 

 

(두번 미분)  $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\left ( \frac{n}{2} \right )\left ( \frac{n}{2}-1 \right ) \cdots \left ( \frac{n}{2}-(k-1) \right )
x^{\frac{n}{2}-k}}{\left ( \frac{1}{2} \right )^{k}e^{\frac{x}{2}}}$

 

$\frac{n}{2}-k<0$ 이 되는 k가 반드시 존재합니다. 따라서 분자는 0에 수렴하고 분모는 무한대로 발산합니다. 극한값은 0이 됩니다. 우리가 유도하던 식은 아래와 같이 변형됩니다.

 

$E[X]=
\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\Gamma \left ( \frac{n}{2} \right )}
\left\{ n\int_{0}^{\infty}
e^{-\frac{x}{2}} x^{\frac{n}{2}-1}dx  \right\} $

 

아래와 같이 한번 더 변형합시다. 

 

$E[X]=
 n\int_{0}^{\infty}\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\Gamma \left ( \frac{n}{2} \right )}
e^{-\frac{x}{2}} x^{\frac{n}{2}-1}dx $

 

적분 기호 안의 수식은 n자유도 카이제곱분포 함수입니다. 따라서 적분값은 1이 됩니다. 

 

$E[X]=n$

 

n자유도 카이제곱분포를 따르는 확률변수의 평균은 n입니다.