우리는 아래 수식을 유도했습니다.
n−1σ2s2∼χ2n−1n−1σ2s2∼χ2n−1
표본분산에 상수가 곱해진 확률변수가 n-1 자유도인 카이제곱분포를 따른다는 의미입니다. n-1 자유도의 카이제곱분포 함수는 아래와 같습니다.
f(x)=12n−12Γ(n−12)e−x2xn−12−1f(x)=12n−12Γ(n−12)e−x2xn−12−1
오늘은 카이제곱분포의 평균을 유도해보겠습니다. 유도해놓으면 분명 뒤에서 써먹을 일이 있을것 같아요. 수식을 편하게 다루기 위해 n자유도의 카이제곱분포에서 평균을 유도하겠습니다.
f(x)=12n2Γ(n2)e−x2xn2−1f(x)=12n2Γ(n2)e−x2xn2−1
평균은 아래와 같이 정의됩니다. 카이제곱분포의 정의역이 0이상이라 적분구간이 0부터 시작합니다.
E[X]=∫∞0xf(x)dx=∫∞0x12n2Γ(n2)e−x2xn2−1dxE[X]=∫∞0xf(x)dx=∫∞0x12n2Γ(n2)e−x2xn2−1dx
아래와 같이 계산해줍니다.
E[X]=∫∞012n2Γ(n2)e−x2xn2dxE[X]=∫∞012n2Γ(n2)e−x2xn2dx
x를 계산해준 것입니다. 적분과 상관없는 항을 밖으로 꺼내줍시다.
E[X]=12n2Γ(n2)∫∞0e−x2xn2dxE[X]=12n2Γ(n2)∫∞0e−x2xn2dx
부분적분법을 적용합니다.
E[X]=12n2Γ(n2){[−2e−x2xn2]∞0+n∫∞0e−x2xn2−1dx}E[X]=12n2Γ(n2){[−2e−x2xn2]∞0+n∫∞0e−x2xn2−1dx}
대괄호를 계산합시다. 대괄호 안에 있는 항의 x값을 0으로 보내면 전체 값이 0이 됩니다. x를 무한대로 보낼 때가 문제인데요. 수식으로 표현하면 아래와 같습니다. 아래 극한값을 구해야합니다.
limx→∞e−x2xn2
아래와 같이 변형합시다.
limx→∞xn2ex2
로피탈 정리를 사용합시다. 분자와 분모를 한 번 미분하면 아래와 같습니다.
(한번 미분) limx→∞n2xn2−112ex2
두번 미분하면 아래와 같습니다.
(두번 미분) limx→∞(n2)(n2−1)xn2−2(12)2ex2
k번 미분하면 아래와 같습니다.
(두번 미분) limx→∞(n2)(n2−1)⋯(n2−(k−1))xn2−k(12)kex2
n2−k<0 이 되는 k가 반드시 존재합니다. 따라서 분자는 0에 수렴하고 분모는 무한대로 발산합니다. 극한값은 0이 됩니다. 우리가 유도하던 식은 아래와 같이 변형됩니다.
E[X]=12n2Γ(n2){n∫∞0e−x2xn2−1dx}
아래와 같이 한번 더 변형합시다.
E[X]=n∫∞012n2Γ(n2)e−x2xn2−1dx
적분 기호 안의 수식은 n자유도 카이제곱분포 함수입니다. 따라서 적분값은 1이 됩니다.
E[X]=n
n자유도 카이제곱분포를 따르는 확률변수의 평균은 n입니다.
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