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@ 필수과목/손으로 푸는 통계

[손으로 푸는 통계 ver1.0] 81. 카이제곱분포의 평균 유도

by bigpicture 2022. 3. 5.
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우리는 아래 수식을 유도했습니다. 

 

n1σ2s2χ2n1n1σ2s2χ2n1

 

표본분산에 상수가 곱해진 확률변수가 n-1 자유도인 카이제곱분포를 따른다는 의미입니다. n-1 자유도의 카이제곱분포 함수는 아래와 같습니다. 

 

f(x)=12n12Γ(n12)ex2xn121f(x)=12n12Γ(n12)ex2xn121

 

오늘은 카이제곱분포의 평균을 유도해보겠습니다. 유도해놓으면 분명 뒤에서 써먹을 일이 있을것 같아요. 수식을 편하게 다루기 위해 n자유도의 카이제곱분포에서 평균을 유도하겠습니다. 

 

f(x)=12n2Γ(n2)ex2xn21f(x)=12n2Γ(n2)ex2xn21

 

평균은 아래와 같이 정의됩니다. 카이제곱분포의 정의역이 0이상이라 적분구간이 0부터 시작합니다. 

 

E[X]=0xf(x)dx=0x12n2Γ(n2)ex2xn21dxE[X]=0xf(x)dx=0x12n2Γ(n2)ex2xn21dx

 

아래와 같이 계산해줍니다. 

 

E[X]=012n2Γ(n2)ex2xn2dxE[X]=012n2Γ(n2)ex2xn2dx

 

x를 계산해준 것입니다. 적분과 상관없는 항을 밖으로 꺼내줍시다. 

 

E[X]=12n2Γ(n2)0ex2xn2dxE[X]=12n2Γ(n2)0ex2xn2dx

 

부분적분법을 적용합니다. 

 

E[X]=12n2Γ(n2){[2ex2xn2]0+n0ex2xn21dx}E[X]=12n2Γ(n2){[2ex2xn2]0+n0ex2xn21dx}

 

대괄호를 계산합시다. 대괄호 안에 있는 항의 x값을 0으로 보내면 전체 값이 0이 됩니다. x를 무한대로 보낼 때가 문제인데요. 수식으로 표현하면 아래와 같습니다. 아래 극한값을 구해야합니다. 

 

limxex2xn2

 

아래와 같이 변형합시다. 

 

limxxn2ex2

 

로피탈 정리를 사용합시다. 분자와 분모를 한 번 미분하면 아래와 같습니다. 

 

(한번 미분) limxn2xn2112ex2

 

두번 미분하면 아래와 같습니다. 

 

(두번 미분) limx(n2)(n21)xn22(12)2ex2

 

k번 미분하면 아래와 같습니다. 

 

(두번 미분)  limx(n2)(n21)(n2(k1))xn2k(12)kex2

 

n2k<0 이 되는 k가 반드시 존재합니다. 따라서 분자는 0에 수렴하고 분모는 무한대로 발산합니다. 극한값은 0이 됩니다. 우리가 유도하던 식은 아래와 같이 변형됩니다.

 

E[X]=12n2Γ(n2){n0ex2xn21dx}

 

아래와 같이 한번 더 변형합시다. 

 

E[X]=n012n2Γ(n2)ex2xn21dx

 

적분 기호 안의 수식은 n자유도 카이제곱분포 함수입니다. 따라서 적분값은 1이 됩니다. 

 

E[X]=n

 

n자유도 카이제곱분포를 따르는 확률변수의 평균은 n입니다. 

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