[손으로 푸는 통계 ver1.0] 80. aX가 카이제곱분포를 따를 때, X도 그럴까

 

 

정규 분포에서는 아래 성질이 성립했습니다. 

 

변수 aX가 평균이 $\mu$이고, 분산이 $\sigma^{2}$인 정규분포를 따를 경우, 확률변수 X는 평균이 $\frac{\mu}{a}$이고, 표준편차가 $\left| \frac{\sigma}{a} \right|$인 정규분포를 따릅니다. 

 

카이제곱분포에서는 어떨까요? 

 

변수 aX가 자유도가 n-1인 카이제곱분포를 따른다고 합시다. 기호로는 아래와 같이 나타냅니다. 

 

$aX \sim \chi^{2}_{n-1}$

 

aX의 확률밀도함수를 f(ax), 누적분포함수를 F(ax)라고 놓겠습니다. F(ax) 는 아래와 같이 정의됩니다.

 

$P\left[ aX \leq ax  \right]$

 

우리가 궁금한 것은 X의 분포입니다. X의 확률밀도함수를 g(x), 누적분포함수를 G(x)라고 놓겠습니다. G(x)는 아래와 같이 정의됩니다. 

$G(x)=P\left[ X \leq x  \right]$

 

우변 괄호 안 부등식의 양 변에 a를 곱해줍니다.

 

a의 범위에 따라 둘로 나뉩니다. 

 

 

1) a가 양수인 경우

$G(x)=P\left[ aX \leq ax  \right]$

 

aX의 누적분포함수를 F 라고 놓는다면 아래 등식을 얻습니다. 

$G(x)=F\left( ax \right)$

양변을 미분합시다. 

$g(x)=af\left( ax \right)$

f 는 카이제곱분포의 확률분포함수입니다. f는 음수에서는 정의되지 않기 때문에 $ax \geq 0$ 조건이 필요합니다. a가 양수이므로, $x \geq 0$ 조건이면 됩니다. 따라서 아래와 같이 변형할 수 있습니다. 

$g(x)=a\frac{1}{2^{\frac{n-1}{2}} \Gamma\left( \frac{n-1}{2} \right)}(ax)^{\frac{n-1}{2}-1}e^{-\frac{ax}{2}}$

$(x \geq 0)$

정리해 보려고 했는데 안되네요. 그냥 이런 분포입니다. 

 

 

2) a가 음수인 경우 

부등식의 양변을 a로 나눠줍니다. 부등호 방향이 바뀝니다. 

$G(x)=P\left[ aX \geq ax  \right]$

aX의 누적분포함수를 F라고 놓는다면 아래 등식을 얻습니다. 

$G(x)=1-F\left( ax \right)$

양변을 미분합시다. 

$g(x)=-af\left( ax \right)$

f(x)는 정규분포의 확률분포함수입니다. f는 음수에서는 정의되지 않기 때문에 $ax \geq 0$ 조건이 필요합니다.  a가 음수이므로, $x \leq 0$ 조건이면 됩니다. 따라서 아래와 같이 변형할 수 있습니다. 

$g(x)=-a\frac{1}{2^{\frac{n-1}{2}} \Gamma\left( \frac{n-1}{2} \right)}(ax)^{\frac{n-1}{2}-1}e^{-\frac{ax}{2}}$

$(x \leq 0)$

정리해 보려고 했는데 안되네요. 

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정리하면 아래와 같습니다. 

 

aX가 n-1자유도 카이제곱분포를 따를 때, X는 아래 분포를 따른다 .

 

1) $a>0$ 인 경우

 

$g(x)=a\frac{1}{2^{\frac{n-1}{2}} \Gamma\left( \frac{n-1}{2} \right)}(ax)^{\frac{n-1}{2}-1}e^{-\frac{ax}{2}}$

$(x \geq 0)$

 

 

2) $a<0$인 경우

 

$g(x)=-a\frac{1}{2^{\frac{n-1}{2}} \Gamma\left( \frac{n-1}{2} \right)}(ax)^{\frac{n-1}{2}-1}e^{-\frac{ax}{2}}$

$(x \leq 0)$

 

우리가 다루던 표본분산의 분포는 아래와 같습니다. 

 

$\frac{n-1}{\sigma^{2}}s^{2} \sim \chi^{2}_{n-1}$

 

a에 해당되는 부분이 양수이므로, 대입하면 아래와 같은 분포함수를 얻습니다 .

 

$g(x)=\frac{n-1}{\sigma^{2}}\frac{1}{2^{\frac{n-1}{2}} \Gamma\left( \frac{n-1}{2} \right)}\left( \frac{n-1}{\sigma^{2}}x \right)^{\frac{n-1}{2}-1}e^{-\frac{\frac{n-1}{\sigma^{2}}x}{2}}$

 

카이제곱분포 함수 선에서 처리가 가능할 줄 알았는데 전혀 다른 형태의 함수가 되었습니다. 위 함수를 사용하는 것 보다는 $\frac{n-1}{\sigma^{2}}s^{2}$ 형태로 사용하는게 나을 것 같습니다.