[손으로 푸는 통계 ver1.0] 84. 카이제곱분포 형태 예측 (자유도 1~3)

 

 

우리는 아래 수식을 유도했습니다.

 

$\frac{n-1}{\sigma^{2}}s^{2} \sim \chi^{2}_{n-1}$

 

카이제곱분포의 평균과 분산도 유도한 상태입니다. 이제 카이제곱분포의 분포함수를 그리고 넓이를 구해보면서 모분산 대신 표본분산을 사용하는 것이 가능한지 알아봐야 하는데요. 

 

카이제곱분포를 손으로 정확히 것은 거의 불가능합니다. R이나 파이썬등의 소프트웨어를 이용해서 그려야 하는데요. 미분을 이용하면 어느정도의 형태는 예상해볼 수 있습니다. 오늘은 미분을 이용해서 카이제곱분포의 대략적인 형태를 알아봅시다. 

 

n자유도 카이제곱분포 함수는 아래와 같습니다. 

$f(x)=\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\Gamma\left( \frac{n}{2} \right)} \cdot e^{-\frac{x}{2}}\cdot x^{\frac{n}{2}-1}$

 

식을 편하게 다루기 위해 우변의 첫 인수를 c로 치환합시다. 

 

$f(x)=c \cdot e^{-\frac{x}{2}}\cdot x^{\frac{n}{2}-1}$

 

x로 양변을 미분합시다. 

 

$f'(x)=-\frac{1}{2}\cdot c \cdot e^{-\frac{x}{2}}\cdot x^{\frac{n}{2}-1}+
c \cdot e^{-\frac{x}{2}}\cdot \left( \frac{n}{2}-1 \right)  \cdot x^{\frac{n}{2}-2}$

 

아래와 같이 공통인수로 묶어줍니다. 

 

$f'(x)= c \cdot e^{-\frac{x}{2}}\cdot x^{\frac{n}{2}-2}\left(-\frac{1}{2}x+\frac{n}{2}-1 \right)$

아래와 같이 변형합니다. 

 

$f'(x)=-\frac{1}{2} c \cdot e^{-\frac{x}{2}}\cdot x^{\frac{n}{2}-2}\left(x-(n-2) \right)$

 

f'(x) 가 0이 되는 x값은 n-2 입니다. n이 1인 경우부터 살펴봅시다.

 

 

n=1

n이 1인 경우의 f(x)와 f'(x)는 아래와 같습니다. 

 

$f(x)=c \cdot e^{-\frac{x}{2}}\cdot x^{-\frac{1}{2}}$

$f'(x)=-\frac{1}{2} c \cdot e^{-\frac{x}{2}}\cdot x^{-\frac{3}{2}}\left(x+1 \right)$

 

f'(x)의 그래프는 아래와 같습니다. 카이제곱분포에서는 x가 0 이상이므로 해당 영역만 그렸습니다. 

 

 

미분값이 음수이므로 감소합수입니다. x=가 0으로 갈 때 f(x)는 무한대로 발산하고, x가 무한대로 갈 때는 f(x)가 0으로 수렴하므로 개형은 아래와 같습니다. 

 

 

n=2

n이 2인 경우의 f(x)와 f'(x)는 아래와 같습니다.

 

$f(x)=c \cdot e^{-\frac{x}{2}}$

$f'(x)=-\frac{1}{2} c \cdot e^{-\frac{x}{2}}$

 

f'(x)의 그래프는 아래와 같습니다. 

 

x=0 에서 f(x)는 c이고, x가 무한대로 갈 때는 f(x)가 0으로 수렴하므로 개형은 아래와 같습니다. 

 

 

n=3

n이 3인 경우의 f(x)와 f'(x)는 아래와 같습니다.

 

$f(x)=c \cdot e^{-\frac{x}{2}}\cdot x^{\frac{1}{2}}$

$f'(x)=-\frac{1}{2} c \cdot e^{-\frac{x}{2}}\cdot x^{-\frac{1}{2}}\left(x-1 \right)$

 

f'(x)의 그래프는 아래와 같습니다. 

 

 

f(x)는 증가하다가 2부터 감소하는 형태가 될 것입니다. x=0 에서 f(x)는 0이고, x가 무한대로 갈 때는 f(x)가 0으로 수렴하므로 개형은 아래와 같습니다. 0에서 기울기는 무한입니다. 

 

 

4자유도 이상 부터는 다음시간에 알아봅시다.