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n자유도 카이제곱분포를 따르는 확률변수의 분산을 유도해봅시다.
n자유도 카이제곱분포 함수는 아래와 같습니다.
분산은 아래 수식을 이용해서 구하겠습니다.
E[X] 는 n이라는 것을 지난시간에 유도했습니다. 우변의 첫항만 계산하면 됩니다. 우변의 첫항은 아래와 같이 계산됩니다.
적분과 관계없는 값들은 밖으로 꺼내줍니다.
아래와 같이 계산해줍니다.
부분적분법을 적용합니다.
계산하면 아래와 같습니다.
아래와 같이 변형합니다.
x를 아래와 같이 나눠서 써줍니다.
우변의 적분항은 평균을 구하는 수식과 같습니다. 계산하면 n 입니다.
아래와 같이 계산해줍시다.
분산을 구하던 수식에 넣어줍니다.
계산하면 아래와 같습니다.
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