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@ 필수과목/손으로 푸는 통계

[손으로 푸는 통계 ver1.0] 83. 카이제곱분포의 분산 유도

by bigpicture 2022. 3. 7.
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n자유도 카이제곱분포를 따르는 확률변수의 분산을 유도해봅시다. 

 

n자유도 카이제곱분포 함수는 아래와 같습니다.

 

f(x)=12n2Γ(n2)ex2xn21f(x)=12n2Γ(n2)ex2xn21

 

분산은 아래 수식을 이용해서 구하겠습니다. 

 

V[X]=E[X2]E[X]2V[X]=E[X2]E[X]2

 

E[X] 는 n이라는 것을 지난시간에 유도했습니다. 우변의 첫항만 계산하면 됩니다. 우변의 첫항은 아래와 같이 계산됩니다. 

 

E[X2]=0x2f(x)dx=0x212n2Γ(n2)ex2xn21dxE[X2]=0x2f(x)dx=0x212n2Γ(n2)ex2xn21dx

 

적분과 관계없는 값들은 밖으로 꺼내줍니다. 

 

E[X2]=12n2Γ(n2)0x2ex2xn21dxE[X2]=12n2Γ(n2)0x2ex2xn21dx

 

아래와 같이 계산해줍니다. 

 

E[X2]=12n2Γ(n2)0ex2xn2+1dxE[X2]=12n2Γ(n2)0ex2xn2+1dx

 

부분적분법을 적용합니다. 

 

E[X2]=12n2Γ(n2){[2ex2xn2+1]002ex2(n2+1)xn2dx}E[X2]=12n2Γ(n2){[2ex2xn2+1]002ex2(n2+1)xn2dx}

 

계산하면 아래와 같습니다. 

 

E[X2]=12n2Γ(n2){02ex2(n2+1)xn2dx}E[X2]=12n2Γ(n2){02ex2(n2+1)xn2dx}

 

아래와 같이 변형합니다. 

 

E[X2]=2(n2+1){012n2Γ(n2)ex2xn2dx}E[X2]=2(n2+1){012n2Γ(n2)ex2xn2dx}

 

x를 아래와 같이 나눠서 써줍니다. 

 

E[X2]=2(n2+1){0x12n2Γ(n2)ex2xn21dx}E[X2]=2(n2+1){0x12n2Γ(n2)ex2xn21dx}

우변의 적분항은 평균을 구하는 수식과 같습니다. 계산하면 n 입니다. 

 

E[X2]=2(n2+1)nE[X2]=2(n2+1)n

 

아래와 같이 계산해줍시다. 

 

E[X2]=n2+2nE[X2]=n2+2n

분산을 구하던 수식에 넣어줍니다. 

 

V[X]=E[X2]E[X]2=n2+2nn2V[X]=E[X2]E[X]2=n2+2nn2

 

계산하면 아래와 같습니다. 

 

V[X]=2nV[X]=2n

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