[손으로 푸는 통계 ver1.0] 83. 카이제곱분포의 분산 유도

 

 

n자유도 카이제곱분포를 따르는 확률변수의 분산을 유도해봅시다. 

 

n자유도 카이제곱분포 함수는 아래와 같습니다.

 

$f(x)=\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}
\Gamma \left ( \frac{n}{2} \right )
}
e^{-\frac{x}{2}} x^{\frac{n}{2}-1}$

 

분산은 아래 수식을 이용해서 구하겠습니다. 

 

$V[X]=E[X^{2}]-E[X]^{2}$

 

E[X] 는 n이라는 것을 지난시간에 유도했습니다. 우변의 첫항만 계산하면 됩니다. 우변의 첫항은 아래와 같이 계산됩니다. 

 

$E[X^{2}]=\int_{0}^{\infty}x^{2}f(x)dx=\int_{0}^{\infty}x^{2}\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}
\Gamma \left ( \frac{n}{2} \right )
}e^{-\frac{x}{2}} x^{\frac{n}{2}-1}dx$

 

적분과 관계없는 값들은 밖으로 꺼내줍니다. 

 

$E[X^{2}]=\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\Gamma \left ( \frac{n}{2} \right )}
\int_{0}^{\infty}x^{2}e^{-\frac{x}{2}} x^{\frac{n}{2}-1}dx$

 

아래와 같이 계산해줍니다. 

 

$E[X^{2}]=\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\Gamma \left ( \frac{n}{2} \right )}
\int_{0}^{\infty}e^{-\frac{x}{2}} x^{\frac{n}{2}+1}dx$

 

부분적분법을 적용합니다. 

 

$E[X^{2}]=\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\Gamma \left ( \frac{n}{2} \right )}
\left \{ \left [ -2e^{-\frac{x}{2}}x^{\frac{n}{2}+1} \right ]^{\infty}_{0}
-\int_{0}^{\infty}-2e^{-\frac{x}{2}}\left ( \frac{n}{2}+1 \right ) x^{\frac{n}{2}}dx
 \right \}$

 

계산하면 아래와 같습니다. 

 

$E[X^{2}]=\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\Gamma \left ( \frac{n}{2} \right )}
\left \{ 
\int_{0}^{\infty}2e^{-\frac{x}{2}}\left ( \frac{n}{2}+1 \right ) x^{\frac{n}{2}}dx
 \right \}$

 

아래와 같이 변형합니다. 

 

$E[X^{2}]=2\left ( \frac{n}{2}+1 \right ) 
\left \{ 
\int_{0}^{\infty}\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\Gamma \left ( \frac{n}{2} \right )}e^{-\frac{x}{2}}x^{\frac{n}{2}}dx
 \right \}$

 

x를 아래와 같이 나눠서 써줍니다. 

 

$E[X^{2}]=2\left ( \frac{n}{2}+1 \right ) 
\left \{ 
\int_{0}^{\infty}x\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\Gamma \left ( \frac{n}{2} \right )}e^{-\frac{x}{2}}x^{\frac{n}{2}-1}dx
 \right \}$

우변의 적분항은 평균을 구하는 수식과 같습니다. 계산하면 n 입니다. 

 

$E[X^{2}]=2\left ( \frac{n}{2}+1 \right )n$

 

아래와 같이 계산해줍시다. 

 

$E[X^{2}]=n^{2}+2n$

분산을 구하던 수식에 넣어줍니다. 

 

$V[X]=E[X^{2}]-E[X]^{2}=n^{2}+2n-n^{2}$

 

계산하면 아래와 같습니다. 

 

$V[X]=2n$