n자유도 카이제곱분포를 따르는 확률변수의 분산을 유도해봅시다.
n자유도 카이제곱분포 함수는 아래와 같습니다.
f(x)=12n2Γ(n2)e−x2xn2−1f(x)=12n2Γ(n2)e−x2xn2−1
분산은 아래 수식을 이용해서 구하겠습니다.
V[X]=E[X2]−E[X]2V[X]=E[X2]−E[X]2
E[X] 는 n이라는 것을 지난시간에 유도했습니다. 우변의 첫항만 계산하면 됩니다. 우변의 첫항은 아래와 같이 계산됩니다.
E[X2]=∫∞0x2f(x)dx=∫∞0x212n2Γ(n2)e−x2xn2−1dxE[X2]=∫∞0x2f(x)dx=∫∞0x212n2Γ(n2)e−x2xn2−1dx
적분과 관계없는 값들은 밖으로 꺼내줍니다.
E[X2]=12n2Γ(n2)∫∞0x2e−x2xn2−1dxE[X2]=12n2Γ(n2)∫∞0x2e−x2xn2−1dx
아래와 같이 계산해줍니다.
E[X2]=12n2Γ(n2)∫∞0e−x2xn2+1dxE[X2]=12n2Γ(n2)∫∞0e−x2xn2+1dx
부분적분법을 적용합니다.
E[X2]=12n2Γ(n2){[−2e−x2xn2+1]∞0−∫∞0−2e−x2(n2+1)xn2dx}E[X2]=12n2Γ(n2){[−2e−x2xn2+1]∞0−∫∞0−2e−x2(n2+1)xn2dx}
계산하면 아래와 같습니다.
E[X2]=12n2Γ(n2){∫∞02e−x2(n2+1)xn2dx}E[X2]=12n2Γ(n2){∫∞02e−x2(n2+1)xn2dx}
아래와 같이 변형합니다.
E[X2]=2(n2+1){∫∞012n2Γ(n2)e−x2xn2dx}E[X2]=2(n2+1){∫∞012n2Γ(n2)e−x2xn2dx}
x를 아래와 같이 나눠서 써줍니다.
E[X2]=2(n2+1){∫∞0x12n2Γ(n2)e−x2xn2−1dx}E[X2]=2(n2+1){∫∞0x12n2Γ(n2)e−x2xn2−1dx}
우변의 적분항은 평균을 구하는 수식과 같습니다. 계산하면 n 입니다.
E[X2]=2(n2+1)nE[X2]=2(n2+1)n
아래와 같이 계산해줍시다.
E[X2]=n2+2nE[X2]=n2+2n
분산을 구하던 수식에 넣어줍니다.
V[X]=E[X2]−E[X]2=n2+2n−n2V[X]=E[X2]−E[X]2=n2+2n−n2
계산하면 아래와 같습니다.
V[X]=2nV[X]=2n
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