[손으로 푸는 통계 ver1.0] 85. 카이제곱분포 형태 예측 (자유도 4자유도 이상 )

 

 

지난시간에 1,2,3 자유도 카이제곱분포의 개형을 예측했습니다. 우리가 예측한 형태는 아래와 같습니다. 왼쪽부터 1,2,3 자유도 입니다. 

 

 

오늘은 4자유도 이상의 카이제곱분포의 개형을 예측해봅시다. n자유도 카이제곱분포의 분포함수 $f(x)$와 도함수 $f'(x)$는 아래와 같습니다. 

 

$f(x)=c \cdot e^{-\frac{x}{2}}\cdot x^{\frac{n}{2}-1}$

 

$f'(x)=-\frac{1}{2} c \cdot e^{-\frac{x}{2}}\cdot x^{\frac{n}{2}-2}\left(x-(n-2) \right)$

 

 

n=4

n이 4인 경우의 $f(x)$와 $f'(x)$ 는 아래와 같습니다. 

$f(x)=c\cdot \frac{x}{e^{\frac{x}{2}}}$

 

$f'(x)=-\frac{1}{2}\cdot c\cdot \frac{x-2}{e^{\frac{x}{2}}}$

 

그래프를 그려봅시다. 

 

 

n이 5 이상

n이 5 이상인 경우의 $f(x)$와 $f'(x)$ 는 아래와 같습니다. 

 

$f(x)=c \cdot e^{-\frac{x}{2}}\cdot x^{\frac{n}{2}-1}$

 

$f'(x)=-\frac{1}{2} c \cdot e^{-\frac{x}{2}}\cdot x^{\frac{n}{2}-2}\left(x-(n-2) \right)$

 

그래프를 그려봅시다. 

 

n이 5 이상인 경우의 카이제곱분포 f(x)는 기울기가 증가하다가 감소하는 변곡점이 있습니다. 위 그림의 빨간 점입니다.  이는 n 이 3 또는 4인 카이제곱분포와 구별되는 특징입니다. 

 

n이 5 이상인 카이제곱분포 부터는 개형이 위와 같고, n이 커지면 꼭지점이 오른쪽으로 이동합니다. n이 커지면 분산도 커지기 때문에 꼭지점의 높이는 낮아집니다. 

 

다음시간에는 R을 이용해서 카이제곱분포의 그래프를 그려보고 우리가 찾은 개형과 비교해보도록 하겠습니다.