[손으로 푸는 통계 ver1.0] 87. 표본분산의 분포에서 모집단이 정규분포를 따라야 한다는 조건 제거하기

 

 

우리는 지금까지 표본분산의 분포를 유도했는데요. 

 

$\frac{n-1}{\sigma^{2}}s^{2} \sim \chi^{2}_{n-1}$

 

한가지 잊고 있었던 사실이 있습니다. 우리가 표본분산의 분포를 유도할 때 두가지 조건을 설정했었다는 것입니다. (36강)

 

1) 표본평균의 분포가 정규분포를 따를 만큼 표본의 크기 n이 크다. 
2) 모집단의 분포는 정규분포를 따른다. 

첫번째 조건을 만족시키는 것은 어렵지 않습니다. 문제는 두번째 조건입니다. 표본분산에 어떤 상수를 곱한 분포가 카이제곱분포를 따른다는 명제를 유도하려면 모집단이 정규분포를 따른다는 조건이 필요합니다. 

 

'표본분산에 어떤 상수를 곱한 분포가 카이제곱분포를 따른다'는 조건은 t분포를 유도할 때도 사용됩니다. t분포를 사용할 때도 모집단이 정규분포를 따라야 한다는 조건이 전제되어 있다는 의미입니다. 

 

하지만 우리가 t검정을 할 때 모집단이 정규분포를 따르는지는 고려하지 않습니다. 

 

그렇다면, 두번째 조건을 제거할 방법이 있다는 뜻일텐데요. 그게 무엇인지를 찾아야 하는 상황입니다. 

 

자료를 찾던 중 아래 논문을 발견했습니다. 

 

 

원하는 결과가 있었습니다. 

 

모집단에 어떠한 가정도 하지 않고 유도된것입니다. 아래와 같은 결론을 내릴 수 있습니다. 

 

"모집단의 분포와 상관 없이, n이 무한대로 가면 표본분산의 분포는 카이제곱분포에 가까워져 간다."

 

증명을 하고 싶었는데, 증명과정이 심하게 깁니다. 열심히 고민하면 이해못할 정도로 어려운 내용은 아닙니다만 양이 너무 많습니다. 이 증명을 다루게 되면, t분포까지 가는길이 너무 멀어지기에 증명은 생략하도록 하겠습니다. 나중에 기회가 되면 다루겠습니다. 

 

대신, 다음시간에 R을 이용한 시뮬레이션을 통해 위 증명이 사실임을 확인해보겠습니다.