[손으로 푸는 통계 ver1.0] 82. 카이제곱분포의 평균 쉬운 유도

 

 

지난 시간에 n자유도 카이제곱분포를 따르는 확률변수 X의 평균이 n 이라는 것을 유도했습니다. 오늘은 카이제곱분포의 평균을 더 쉽게 유도해봅시다. 아래 식에서 출발합니다. 

 

$\frac{n-1}{\sigma^{2}}s^{2} \sim \chi^{2}_{n-1}$

 

좌변은 n-1 자유도인 카이제곱분포를 따르는 확률변수입니다. 기댓값을 구해봅시다. 

 

$E\left [ \frac{n-1}{\sigma^{2}}s^{2} \right ]$

 

괄호와 무관한 문자들은 밖으로 꺼냅시다. 

 

$\frac{n-1}{\sigma^{2}}E\left [ s^{2} \right ]$

 

표본분산의 평균은 모분산입니다. 4강에서 유도했습니다.

 

$\frac{n-1}{\sigma^{2}}\sigma^{2}$

 

약분하면 n-1만 남습니다. 

 

n-1자유도 카이제곱분포를 따르는 확률변수의 평균이 n-1 이라는 것을 유도했습니다. 

 

$\frac{n-1}{\sigma^{2}}s^{2} \sim \chi^{2}_{n-1}$ 라는걸 유도하는데 한참걸렸으니, 81강까지 완료한 상태에서만 더 쉬운방법입니다.