[통계 Q&A] 푸아송분포 문제1 (식당 손님 문제)

Q)

어느 식당에 손님이 한시간에 평균 4명이 옵니다. 3시간 동안 10명 이상이 올 확률은 얼마인가요?

 

A)

푸아송분포의 수식은 아래와 같습니다. 

$p(x)=\frac{\lambda^{x}e^{-\lambda}}{x!}$

람다($\lambda$)는 단위시간당 평균발생횟수 입니다. 위 문제에서 단위시간을 1시간으로 놓으면 람다는 4입니다. 단위시간을 3시간으로 놓으면 람다는 12입니다. 단위시간을 3시간으로 놓고 푸아송분포를 구하면 아래와 같습니다. 

 

$p(x)=\frac{12^x e^{-12}}{x!}$

10명 이상이 올 확률은 아래와 같습니다. 

 

$P[X \geq 10]=p(10)+p(11)+p(12)+\cdots$

 

무한히 많은 항을 계산해야 합니다. 여사건의 확률을 이용합시다. 아래와 같습니다. 

 

$P[X \geq 10]=1-P[X <  10]=1-\left ( p(0)+p(1)+p(2)+\cdots+p(9) \right )$

 

푸아송분포 함수에 넣으면 아래와 같습니다. 

 

$P[X \geq 10]=1-P[X <  10]=1-\left ( \frac{12^0\cdot e^{-12}}{0!}+\frac{12^1\cdot e^{-12}}{1!}+\cdots+\frac{12^9\cdot e^{-12}}{9!} \right )$

 

손으로 계산하기는 어려워서 R로 계산했습니다. 

 

> 1-sum(dpois(0:9,12))
[1] 0.7576078

 

확률은 0.008입니다.