[통계 Q&A] 다항분포 문제를 비복원추출로 풀어주세요

Q) 다항분포 문제를 비복원추출로 풀어주세요

 

A)

 

질문자님께서 말씀하신 다항분포 문제는 아래와 같습니다. 

상자가 있습니다. 상자 안에는 100개의 공이 들어있는데요. 빨간공이 20개, 파란공이 30개, 노란공이 50개 들어있습니다. 이 상자에서 복원추출로 공을 10번 뽑을 때, 빨간공이 5개, 파란공이 2개, 노란공이 3개 나올 확률을 구해봅시다. 

복원추출로 풀면 정답은 아래와 같습니다. 

$P\left( x,y,z; \ n ; \ 0.2,0.3,0.5 \right)=\frac{n!}{x!y!z!}0.2^x 0.3^y 0.5^z$

$P\left( 5,2,3; \ n ; \ 0.2,0.3,0.5 \right)=\frac{10!}{5!2!3!}0.2^5 0.3^2 0.5^3$

비복원추출인 경우를 계산해봅시다. 먼저 위 식을 변형하겠습니다. 우변의 0.2, 0.3, 0.5 를 아래와 같이 변형할 수 있습니다. 

$P\left( 5,2,3; \ n ; \ 0.2,0.3,0.5 \right)=\frac{10!}{5!2!3!}\cdot  \left( \frac{20}{100}\frac{20}{100}\frac{20}{100}\frac{20}{100}\frac{20}{100} \right) \left( \frac{30}{100}\frac{30}{100} \right) \left( \frac{50}{100}\frac{50}{100}\frac{50}{100} \right)$

비복원 추출인 경우 우변이 아래와 같이 변합니다. 

$P\left( 5,2,3; \ n ; \ 0.2,0.3,0.5 \right)=\frac{10!}{5!2!3!}\cdot \left( \frac{20}{100}\frac{19}{99}\frac{18}{98}\frac{17}{97}\frac{16}{96} \right) \left( \frac{30}{95}\frac{29}{94} \right) \left( \frac{50}{93}\frac{49}{92}\frac{48}{91}  \right)$

뽑을 때마다 전체 개수가 줄어들고, 뽑힌 색의 공도 하나씩 줄어들게 됩니다. 위 식의 항을 하나씩 설명하겠습니다. 

비복원 추출에서 공이 뽑히는 순서에 따라 확률이 달라진다고 생각하실 수도 있는데, 어떤 순서로 뽑히던 확률은 동일하고 아래와 같습니다. 

$\left( \frac{20}{100}\frac{19}{99}\frac{18}{98}\frac{17}{97}\frac{16}{96} \right) \left( \frac{30}{95}\frac{29}{94} \right) \left( \frac{50}{93}\frac{49}{92}\frac{48}{91}  \right)$

뽑히는 순서의 경우의 수는 아래와 같습니다. 

$\frac{10!}{5!2!3!}$