[통계 Q&A] 적률생성함수 만들때 어떻게 X만 대체해도 되나요?

Q) 적률생성함수 만들때 어떻게 X만 대체해도 되나요? 

질문을 이해하기 위해 약간의 배경설명을 하겠습니다. 

확률변수 X의 평균은 아래와 같이 구합니다. 

$E\left [ X \right ]=\int_{-\infty}^{\infty}x f(x) dx$

적률생성함수는 X자리에 $e^{tX}$ 를 넣어서 구합니다. 

$E\left [ e^{tX} \right ]=\int_{-\infty}^{\infty}e^{tx} f(x) dx$

이때 왜 우변의 x 하나만 $e^{tX}$ 로 교체할 수 있냐는 질문입니다. f(x)안에도 x가 있고, dx에도 x가 있으니 다 교체해야하는 것 아닌가라는 의문이 드신 것 같아요. 

 

A)

E[  ] 는 함수가 아닙니다. 그냥 기호입니다. '대괄호 안에 있는 확률변수의 기댓값' 이라고 매번쓰기 귀찮아서 만든 기호입니다. 계산 결과가 함수가 될 수는 있는데, E 자체가 함수인 것은 아닙니다.

 

f(x) 와 같은 함수는 x에 다른걸 넣어주면, 모든 x 를 그 '다른것'으로 바꿔줘야 합니다. 하지만 E[X] 는 함수가 아니라 그럴 필요는 없습니다. 적률생성함수는 함수인데? 라고 질문하실 수도 있는데, $E\left [ e^{tX} \right ]$ 의 계산 결과가 t에 대한 함수인 것이지 $E$ 가 함수라는 말이 아닙니다. 

$E[X]$ 의 의미를 생각해봅시다. $E[X]$ 는 X의 기댓값을 뜻합니다. $E\left [ e^{tX} \right ]$ 는 $E[X]$ 라는 함수의 X자리에 $e^{tX}$ 를 넣은게 아니라. $e^{tX}$ 의 기댓값을 의미합니다.

어떤 연속확률변수의 기댓값은 확률변수에 확률밀도함수를 곱하고 적분한 값입니다. $E\left [ e^{tX} \right ]$ 는 $e^{tX}$ 의 기댓값이라는 의미 그 이상도 이하도 아닙니다. $e^{tX}$ 의 기댓값을 구해주면 되는 것입니다.