[수리통계학] #40. 이변량 확률분포 (결합확률분포)

우리는 24강에서 확률변수가 무엇인지 배웠습니다. 확률변수는 표본공간의 원소를 실수에 대응시키는 함수입니다. 

26~27강에서는 확률분포함수를 배웠습니다. 확률분포는 확률변수를 확률에 대응시키는 함수입니다. 

오늘은 이변량 확률분포를 배울 것인데요. 이변량 확률분포는 확률변수의 쌍을 확률에 대응시키는 함수입니다. 

예를 들어봅시다. 

주사위를 두개 던지는 시행에서 표본공간은 아래와 같습니다. 

$S={HH,HT,TH,TT}$

두 확률변수 $X_{1}$과 $X_{2}$ 를 아래와 같이 정의합시다. 

$X_{1}$ : 앞면이 나온 횟수
$X_{2}$ : 뒷면이 나온 횟수

순서쌍 $(X_{1},X_{2})$ 의 집합을 D라고 한다면, D는 아래와 같습니다. 

$D=\left \{ (2,1),(1,1),(0,2) \right \}$

확률분포함수를 $p_{X_{1},X_{2}}(x_{1},x_{2})$ 라고 한다면 아래 표와 같이 정의됩니다. 

 

		$X_{1}$
		0	1	2
$X_{2}$	0	0	0	$\frac{1}{3}$
	1	0	$\frac{1}{3}$	0
	2	$\frac{1}{3}$	0	0

 

일반화시켜봅시다. 

 

이산확률변수

만약 확률변수가 이산확률변수라면 확률변수 $(X_{1},X_{2})$의 확률질량함수는 아래와 같이 정의됩니다. 결합확률질량함수(joint probability mass functino) 라고 부릅니다. 

$p_{X_{1},X_{2}}(x_{1},x_{2})=P\left [ \left \{ X_{1} = x_{1} \right \}\cap \left \{ X_{2} =x_{2} \right \} \right ]$

결합누적분포함수는 아래와 같이 정의됩니다. 

$F_{X_{1},X_{2}}(x_{1},x_{2})=P\left [ \left \{ X_{1} \leq x_{1} \right \}\cap \left \{ X_{2} \leq x_{2} \right \} \right ]$

 

교집합 기호 대신 주로 콤마를 합니다. 

 

연속확률변수 

만약 확률변수가 연속확률변수라면 확률변수 $(X_{1},X_{2})$의 결합누적분포함수는 아래와 같이 정의됩니다. 연속확률변수에서는 누적분포함수가 먼저 정의됩니다. 

$F_{X_{1},X_{2}}(x_{1},x_{2})=\int_{-\infty}^{x_{1}}\int_{-\infty}^{x_{2}}f_{X_{1},X_{2}}(w_{1},w_{2})dw_{1}dw_{2}$

결합확률밀도함수는 아래와 같이 정의됩니다. 

$f_{X_{1},X_{2}}(x_{1},x_{2})=\frac{ \partial^2 F_{X_{1},X_{2}}(x_{1},x_{2})}{\partial x_{1}\partial x_{2}  }$