[수리통계학] #39. 특성함수가 항상 존재함을 증명

어떤 확률변수 X의 확률밀도함수가 f(x) 일 때, 특성함수는 아래와 같이 정의됩니다. 

$\varphi_{X}(t)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{itX}f(x)dx$

양변에 절댓값을 씌워줍시다. 

$\left | \varphi_{X}(t) \right |=\left | \int_{-\infty}^{\infty}e^{itX}f(x)dx \right |$

아래 부등식이 성립합니다. 복소해석학 내용입니다. 증명은 글 맨 아래 첨부한 링크를 참고하세요. 

$\left | \varphi_{X}(t) \right |=\left | \int_{-\infty}^{\infty}e^{itX}f(x)dx \right |\leq 
\int_{-\infty}^{\infty}\left | e^{itX}f(x) \right |dx$

맨 오른쪽 항은 아래와 같이 변형됩니다. 

$\left | \varphi_{X}(t) \right |=\left | \int_{-\infty}^{\infty}e^{itX}f(x)dx \right |\leq 
\int_{-\infty}^{\infty}\left | e^{itX} \right |\left | f(x) \right | dx$

$e^{itX}$의 크기는 1이므로 아래와 같이 변형됩니다. 

$\left | \varphi_{X}(t) \right |=\left | \int_{-\infty}^{\infty}e^{itX}f(x)dx \right |\leq 
\int_{-\infty}^{\infty}\left | f(x) \right | dx$

맨 오른쪽 항은 확률분포를 전체 구간에 대해 적분한 것이므로 1입니다. 

$\left | \varphi_{X}(t) \right |=\left | \int_{-\infty}^{\infty}e^{itX}f(x)dx \right |\leq 
1$

따라서 아래 등식이 성립합니다 .

$\left | \varphi_{X}(t) \right | \leq 
1$

특성함수는 항상 수렴합니다. 

 

 

Rerefence
1. 복소수 부등식 증명 링크
https://proofwiki.org/wiki/Modulus_of_Complex_Integral