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@ 통계학 석박사 진학관련/수리통계학 요약42

[수리통계학] #11. 단조증과 단조감소 집합의 확률 단조증가 또는 단조감소하는 집합의 확률에는 아래와 같은 성질들이 성립합니다. 1) 단조증가 집합의 확률 집합 $C_{n}$을 단조증가집합이라고 합시다. 이때 아래 등식이 성립합니다. $\lim_{n\rightarrow \infty}P(C_{n})=P(\lim_{n \rightarrow \infty}C_{n})=P\left ( \bigcup_{n=1}^{\infty} C_{n} \right)$ 2) 단조감소 집합의 확률 $\lim_{n\rightarrow \infty}P(C_{n})=P(\lim_{n \rightarrow \infty}C_{n})=P\left ( \bigcap_{n=1}^{\infty} C_{n} \right)$ 직관적으로 이해되는 내용의 증명은 생략하겠습니다. 2021. 2. 26.
[수리통계학] #10. 합집합의 확률 공식을 수식으로 증명(집합3개) 집합이 3개인 경우 합집합의 확률공식은 아래와 같습니다. $P(A \cup B \cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A\cap B)-P(B\cap C)-P(A\cap C)+P(A\cap B\cap C)$ 고등학교 때는 벤다이어그램을 이용해서 유도했을겁니다. 이번에는 수식을 이용해서 유도해봅시다. 교집합기호는 생략하겠습니다. A,B,C 의 합집합은 아래와 같이 나타낼 수 있습니다. $P(A \cup B \cup C)=P((A \cup B) \cup C)$ 집합 2개인 경우의 합집합 확률공식을 적용합시다. $P(A \cup B \cup C)=P(A \cup B)+P(C)-P((A \cup B) \cap C)$ 우번의 첫째항에 한번더 적용합시다. $P(A \cup B \cup C)=P(A)+P(B)-P.. 2021. 2. 26.
[수리통계학] #9. 합집합의 확률 공식을 수식으로 증명(집합2개) 집합이 2개인 경우 합집합의 확률 공식은 아래와 같습니다. $P\left ( A\cup B \right )=P\left ( A \right )+P\left ( B \right )-P\left ( A\cap B \right )$ 고등학교 때는 벤다이어그램을 이용해서 유도했을겁니다. 이번에는 수식을 이용해서 유도해봅시다. 교집합기호는 생략하겠습니다. A와 B의 합집합은 아래와 같이 나타낼 수 있습니다. $P\left ( A\cup B \right )=P\left ( AB^{c} \cup AB \cup A^{c}B \right )$ 우변의 세 집합이 서로 배반이므로 아래와 같이 변형이 가능합니다. $P\left ( A\cup B \right )=P\left ( AB^{c} \right )+P\left ( AB.. 2021. 2. 26.
[수리통계학] #8. 확률분포의 수학적 정의 (확률의 공리) 확률분포를 수학적으로 정의해봅시다. S를 표본공간, A를 사건이라고 합시다. P를 사건 A에서 실수(real number)로 대응시키는 함수라고 합시다. 이때, 함수 P가 아래 세가지 공리(조건)을 만족한다면, 함수 P는 확률분포입니다. Axiom 1: 모든 A에 대해 $P(A)\geq 0$ 이다. Axiom 2: $P(S)=1$ 이다. Axiom 3: 만약 $A_{1},A_{2},...$ 가 서로 배반이라면 아래 등식이 성립한다. $P\left ( \bigcup_{i=1}^{\infty }A_{i} \right )=\sum_{i=1}^{\infty }P\left ( A_{i} \right )$ 읽어보면 아시겠지만 세가지 공리는 당연한 것들입니다. 확률은 0보다 크고, 확률의 합은 1이고, 서로 배반이면.. 2021. 2. 26.
[수리통계학] #7. 실험, 시행, 표본공간, 사건, 원소 1) 실험 (experiment) 무한히 반복할 수 있는 임의의 절차를 '실험' 이라고 합니다. 영어로는 experiment 입니다. 예를들면 주사위 던지기, 동전던지기 등이 있습니다. 2) 시행 (trial) 실험을 실제로 수행하는 것을 시행이라고 합니다. 영어로는 trial 입니다. 실험과 시행을 같은 의미로 쓰기도 합니다. 3) 표본공간 (sample space) 표본공간은 실험을 시행하여 나올 수 있는 모든 가능한 결과의 집합입니다. 주사위를 던진다고 하면 {1,2,3,4,5,6}이 표본공간이고, 동전을 던진다고 하면 {H,T} 이 표본공간입니다. 동전을 두개 던질 때의 표본공간은 아래와 같습니다. {HH,TT,HT,TH} 4) 사건 (event) 사건은 표본공간의 부분집합입니다. 사건은 우리가 .. 2021. 2. 26.
[수리통계학] #6. 순열과 조합 순열과 조합은 고등학교에서 이미 배운 내용입니다. 다시 설명하는 이유는 기호가 달라졌기 때문입니다. 1) 순열 고등학교에서 순열을 배울 때는 아래와 같이 나타냈었습니다. $_{n}P_{r}=\frac{n!}{(n-r)!}$ 수리통계학에서는 순열을 아래와 같은 기호로 나타냅니다. $P_{r}^{n}=\frac{n!}{(n-r)!}$ 2) 조합 고등학교에서 조합을 배울 때는 아래와 같이 나타냈었습니다. $_{n}C_{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}$ 수리통계학에서는 조합을 아래와 같은 기호로 나타냅니다. $\binom{n}{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}$ 2021. 2. 24.
[수리통계학] #5. 집합의 단조증가, 단조감소 아래와 같은 집합열이 있다고 합시다. $A_{n}$은 집합입니다. $A_{1},A_{2},...$ 영어로 sequence of set 인데, 원문의 의미는 받아들여 지는데 한글로 번역하려니 애매하네요. 집합배열? 집합열? 등으로 번역될 것 같은데, 집합열이라고 부르겠습니다. 이러한 집합열이 '단조증가' 하거나 '단조감소'할 수 있습니다. 단조증가와 감소가 무엇인지 설명드리겠습니다. 1) 단조증가(monotone increasing) 단조증가는 집합이 갈수록 같거나 커진다는 뜻입니다. nondecreasing과 같은 의미입니다. 첨자가 높은 집합이 낮은 집합을 포함합니다. 아래와 같은 관계가 성립됩니다. $A_{1} \subset A_{2} \subset ...$ 또한 아래와 같은 등식을 도출할 수 있습니.. 2021. 2. 22.
[수리통계학] #4. 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙 영단어 집합과 관련된 영단어를 알아봅시다. 집합의 연산인 교집합, 합집합에서는 교환,결합,분배법칙이 성립합니다. 이 용어들의 영단어를 알아봅시다. 1) 교환법칙 : Commutative property(Communitivity) Commutative 는 가환성의(교환 가능한)이라는 의미입니다. 2) 결합법칙 : Associative property (=Associativity) Associative 는 연합의, 연상의 라는 의미입니다. 2) 분배법칙 : Distributive laws Distributive 는 분배의, 분배에 관한 이라는 의미입니다. 2021. 2. 19.
[수리통계학] #3. 합집합,교집합,여집합,배반집합,부분집합 영단어 집합과 관련된 영단어를 알아봅시다. 단어를 알아야 영어로 된 수학 강의를 보거나 자료를 읽을 때 수월하게 이해할 수 있습니다. 1) 합집합 : union 2) 교집합 : intersection 3) 여집합 : complement 4) 배반집합 : disjoint, mutually exclusive 5) 부분집합 : subset 2021. 2. 19.
[수리통계학] #2. 조건제시법과 콜론(:) 조건제시법을 나타내는 방법입니다. 고등학교때는 bar( | ) 를 사용했는데요. 제가 참고한 세개의 문헌 모두 콜론(:)을 사용했습니다. 몇가지 조건제시법 사용 예시를 보여드릴테니 표현방식에 익숙해져봅시다. 일부러 여러 책에 나온 다양한 표현방법을 넣었습니다. 조건제시법은 괴롭히려고 만든게 아니라 편하려고 만든 표현법입니다. 익숙해지는데 에너지가 들긴 하지만 한번 익숙해지면, 설명하려면 긴 이야기를 짧게 나타낼 수 있습니다. 킹받네와 비슷합니다. 1) $\left \{ \omega \in \Omega : \ \omega \in A \ or \ \omega \in B \ or \ \omega \in both \right \}$ 여기서 Ω는 표본공간입니다. Ω의 원소 ω 중에서, A의 원소이거나 B의 원소이.. 2021. 2. 19.
[수리통계학] #1. 여러 개의 집합의 합집합과 교집합 표현식 합집합과 교집합의 표현식을 알아봅시다. 편하려고 만든 기호입니다. 길게 쓰기 싫어서 짧게 줄인 것이죠. 별거 없습니다. 대신 익숙해져야 한눈에 알아볼 수 있습니다. 아래와 같이 n개의 집합이 있다고 합시다. $A_{1},A_{2},\cdots ,A_{n}$ 1) 여러 집합의 합집합 표현방식 위 집합들의 합집합은 아래와 같은 기호로 나타냅니다. $A_{1} \cup A_{2} \cup \cdots \cup A_{n}=\bigcup_{i=1}^{n}A_{i}$ 집합이 무수히 많은 경우는 아래와 같이 무한대 기호를 사용하여 나타냅니다. $A_{1} \cup A_{2} \cup \cdots=\bigcup_{i=1}^{\infty}A_{i}$ 2) 여러 집합의 교집합 표현방식 위 집합들의 교집합은 아래와 같은 기.. 2021. 2. 19.
[수리통계학] 프롤로그 취미(?) 또는 자기계발의 일환으로 통계학 공부를 시작했었고, 현재는 통계의본질, 통계의 도구들이라는 유튜브 채널을 운영하고 있습니다. t검정의 원리가 궁금해서 시작한 공부라서 t검정을 이해하는 것이 목적인 '손으로 푸는 통계'라는 강의와 여러가지 확률분포를 공부해보는 '손으로 푸는 확률분포' 라는 강의를 주로 진행하고 있습니다. 통계의 본질 채널에서 진행합니다. 통계의 도구들에서는 엑셀, R, 파이썬 등으로 통계분석 및 시각화하는 방법을 강의하고 있습니다. 통계를 공부하면서 통계와 관련된 수학적인 도구들을 더 많이 갖춰야 겠다는 생각이 자연스레 들어서, 수리통계학 공부를 시작하려고 합니다. 강의를 듣거나 교제를 수동적으로 따라가며 읽는 것을 못하는 성격이라, 수리통계학 역시 제 방식대로 공부해보려고 합.. 2021. 2. 19.
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