[수리통계학] #5. 집합의 단조증가, 단조감소

아래와 같은 집합열이 있다고 합시다. $A_{n}$은 집합입니다. 

$A_{1},A_{2},...$

영어로 sequence of set 인데, 원문의 의미는 받아들여 지는데 한글로 번역하려니 애매하네요. 집합배열? 집합열? 등으로 번역될 것 같은데, 집합열이라고 부르겠습니다. 

이러한 집합열이 '단조증가' 하거나 '단조감소'할 수 있습니다. 단조증가와 감소가 무엇인지 설명드리겠습니다. 

 

1) 단조증가(monotone increasing)

 

단조증가는 집합이 갈수록 같거나 커진다는 뜻입니다. nondecreasing과 같은 의미입니다. 첨자가 높은 집합이 낮은 집합을 포함합니다. 아래와 같은 관계가 성립됩니다. 

$A_{1} \subset A_{2} \subset ...$

또한 아래와 같은 등식을 도출할 수 있습니다. 

$\lim_{n \rightarrow \infty}A_{n}=\bigcup_{n=1}^{\infty}A_{n}$

$A_{n}$ 의 극한값이 모든 A의 합집합과 같다는 의미입니다. 첨자 n이 커질수록 집합이 점점 커지므로, A들의 합집합은 가장 큰 첨자를 가진 A를 의미합니다. 

2) 단조감소(monotone decreasing)

 

단조감소는 집합이 갈수록 같거나 작아진다는 뜻입니다. nonincreasing과 같은 의미입니다. 첨자가 높은 집합이 낮은 집합을 포함합니다. 아래와 같은 관계가 성립됩니다. 

$A_{1} \supset A_{2} \supset ...$

또한 아래와 같은 등식을 도출할 수 있습니다. 

$\lim_{n \rightarrow \infty}A_{n}=\bigcap_{n=1}^{\infty}A_{n}$

$A_{n}$ 의 극한값이 모든 A의 교집합과 같다는 의미입니다. 첨자 n이 커질수록 집합이 점점 작아지므로, A들의 교집합은 가장 작은 첨자를 가진 A를 의미합니다.