[수리통계학] #9. 합집합의 확률 공식을 수식으로 증명(집합2개)

집합이 2개인 경우 합집합의 확률 공식은 아래와 같습니다.

$P\left ( A\cup B \right )=P\left ( A \right )+P\left ( B \right )-P\left ( A\cap B \right )$

고등학교 때는 벤다이어그램을 이용해서 유도했을겁니다. 이번에는 수식을 이용해서 유도해봅시다. 교집합기호는 생략하겠습니다.

A와 B의 합집합은 아래와 같이 나타낼 수 있습니다. 

$P\left ( A\cup B \right )=P\left ( AB^{c}  \cup AB  \cup A^{c}B \right )$

우변의 세 집합이 서로 배반이므로 아래와 같이 변형이 가능합니다. 

$P\left ( A\cup B \right )=P\left ( AB^{c}  \right )+P\left (  AB \right )+P\left ( A^{c}B  \right )$

우번의 첫 두 항은 P(A)로 합쳐집니다. 

$P\left ( A\cup B \right )=P\left ( A  \right )+P\left ( A^{c}B  \right )$

우변에 P(AB)를 더하고 빼줍시다.

$P\left ( A\cup B \right )=P\left ( A  \right )+P\left ( A^{c}B  \right )+P\left (AB \right )-P\left (AB \right )$

우변의 둘째 셋째 항은 P(B)로 합쳐집니다. 

$P\left ( A\cup B \right )=P\left ( A  \right )+P\left ( B \right )-P\left (AB \right )$