[수리통계학] #10. 합집합의 확률 공식을 수식으로 증명(집합3개)

집합이 3개인 경우 합집합의 확률공식은 아래와 같습니다. 

$P(A \cup B \cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A\cap B)-P(B\cap C)-P(A\cap C)+P(A\cap B\cap C)$

고등학교 때는 벤다이어그램을 이용해서 유도했을겁니다. 이번에는 수식을 이용해서 유도해봅시다. 교집합기호는 생략하겠습니다.

A,B,C 의 합집합은 아래와 같이 나타낼 수 있습니다. 

$P(A \cup B \cup C)=P((A \cup B) \cup C)$

집합 2개인 경우의 합집합 확률공식을 적용합시다. 

$P(A \cup B \cup C)=P(A \cup B)+P(C)-P((A \cup B) \cap C)$

우번의 첫째항에 한번더 적용합시다. 

$P(A \cup B \cup C)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)+P(C)-P((A \cup B) \cap C)$

마지막 항에는 분배법칙을 적용합시다. 

$P(A \cup B \cup C)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)+P(C)-P((A \cap C) \cup (B \cap C))$

 

마지막항에 합집합 확률공식을 적용합시다. 

 

$P(A \cup B \cup C)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)+P(C)-P(A \cap C)-P(B \cap C)+P(A \cap B \cap C)$

 

아래와 같이 정리해줍니다. 

 

$P(A \cup B \cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A \cap B)-P(A \cap C)-P(B \cap C)+P(A \cap B \cap C)$