[수리통계학] #12. 부울의 부등식 (Boole's inequality)

P는 집합함수고 집합 $A_{n}$은 어떤 사건들이라고 합시다. 이때 아래 부등식이 성립합니다. 

$P\left ( \bigcup_{i=1}^{\infty }A_{i} \right )\leq \sum_{i=1}^{\infty }P\left ( A_{i} \right )$

이 부등식을 부울부등식이라고 합니다. 부울대수(논리대수)를 창안한 조지 부울의 이름을 따서 만들어진 부등식입니다. 

먼저 좌변을 보면 $A_{1},A_{2},...$ 집합들의 합집합의 확률입니다. 우변은 각 집합들의 확률의 합입니다. 우변은 교집합들이 중복되어 계산될 것이니 당연히 좌변보다 클 것입니다. 교집합이 없을 경우는 같을 거구요. 

직관적으로 받아들일 수 있는 내용의 증명은 생략합니다. 집합이 2개인 경우의 부울의 부등식은 아래와 같습니다. 

 

$P(A\cup B)\leq P(A)+P(B)$