[수리통계학] #13. 포함 배제의 원리 (Inclusion–exclusion principle)

확률에서의 포함배제의 원리는 9강과 10강에서 살펴본 합집합의 확률공식을 일반화한 것입니다. 포함배제의 공식(Inclusion–exclusion formula)이라고도 부릅니다. 

집합이 2개인 경우 아래 등식이 성립합니다.

$P\left ( A\cup B \right )=P\left ( A  \right )+P\left ( B \right )-P\left (AB \right )$

집합이 세개인 경우는 아래 등식이 성립합니다.

$P(A \cup B \cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A \cap B)-P(A \cap C)-P(B \cap C)+P(A \cap B \cap C)$

집합이 4개인 경우는 어떨까요? 

$\begin{align} \\&P(A \cup B \cup C \cup  D)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D) \\&-P(A \cap B)-P(A \cap C)-P(A \cap D)-P(B \cap C)-P(B \cap D)-P(C \cap D) \\&+P(A \cap B \cap C)+P(A \cap B \cap D)+P(A \cap C \cap D)+P(B \cap C \cap D)\\&-P(A \cap B \cap C \cap D) \end{align}$

 

일반화시키면 아래와 같습니다.

 

$P(A_{1} \cup \cdots  \cup A_{n} )=\sum_{i=1}^{n}P(A_{n})-\sum_{1\leq i< j\leq n}^{}P(A_{i}\cap A_{j}) + \\ \sum_{1\leq i< j<k\leq n}^{}P(A_{i} \cap A_{j} \cap A_{k})-\cdots +\left ( -1 \right )^{n-1}P(A_{1} \cap \cdots  \cap A_{n})$