[수리통계학] #14. 조건부확률, 곱셉공식

조건부확률의 정의

 

조건부확률은 어떤 사건 A가 일어났다는 전제 하에 사건 B가 일어날 확률입니다. 기호로는 아래와 같이 나타냅니다. 

$P(B|A)$

사건 A가 일어났으므로, 사건 A가 새로운 표본공간이 됩니다. 이 표본공간에서 사건 B가 일어난다는 것은 사건 $A \cap B$ 가 일어난다는 의미입니다. 따라서 조건부확률은 아래와 같이 정의됩니다. 

$P(B|A)=\frac{P(A \cap B)}{P(A)}$

 

 

곱셈법칙 (multiplication rule, 또는 곱셈공식)

 

조건부확률의 정의를 변형하면 아래와 같습니다. 

 

$P(A \cap B)=P(A)P(B|A)$

 

이 수식의 의미를 생각해봅시다. A와 B가 둘다 발생한 확률은 A가 발행하고, A가 발생한 상황에서 B가 발생하면 된다 라고 해석할 수 있습니다. 

 

이번에는 집합의 수를 3개로 확장해봅시다. 세 집합의 교집합은 아래와 같이 둘, 그리고 하나의 교집합으로 표현할 수 있습니다. 

 

$P(A \cap B \cap C)=P([A \cap B] \cap C)$

 

위 곱셈법칙을 이용하여 변형합시다. 

 

$P(A \cap B \cap C)=P(A \cap B)P(C|A \cap B)$

 

$P(A \cap B)$는 다시 아래와 같이 변형할 수 있습니다. 

 

$P(A \cap B \cap C)=P(A)P(B|A)P(C|A \cap B)$

 

세개짜리는 직관적으로 잘 납득되지 않을 수도 있습니다. 예시를 통해 이해해봅시다. 

 

버튼을 누르면 1~10 사이의 임의의 숫자를 같은 확률로 출력하는 기계가 있다고 합시다. 아래와 같은 세가지 사건을 정의합시다. 

 

A : 홀수

B : 5이상의 수

C : 소수(prime number)

 

$P(A \cap B \cap C)=P(A)P(B|A)P(C|A \cap B)$ 를 적용해봅시다. 먼저 짝수인 사건이 발생합니다. 확률은$\frac{1}{2}$이고, 현재 표본공간은 {1,3,5,7,9} 입니다. 짝수가 발생했다는 전제 하에 5보다 큰 수가 발생합니다. 확률은 $\frac{3}{5}$이고, 현재 표본공간은 {5,7,9}입니다. 짝수이면서 홀수가 발생했다는 전제 하에 소수가 발생합니다. 확률은 $\frac{2}{3}$이고 사건의 집합은 {5,7}입니다. 

 

 

곱셈법칙 부연설명

 

위에서 유도한 곱셈법칙은 아래와 같습니다. 

 

$P(A \cap B)=P(A)P(B|A)$

 

A와 B의 교집합을, 사건 A가 발생하고, A가 발생한 상황에서 B가 발생할 확률로 변환한 것인데요. 반대로 생각할 수도 있습니다. 사건 B가 발생하고, B가 발생한 상황에서 A가 발생할 확률로 말이죠. 

 

$P(A \cap B)=P(B)P(A|B)$

 

따라서 아래 등식이 성립합니다.

 

$P(A \cap B)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)$