[수리통계학] #16. 전확률공식

전확률공식(law of total probability, 또는 전체확률법칙)

 

서로 배반인 k개의 사건들 $A_{1},A_{2},...,A_{k}$가 있다고 합시다. 이 사건들이 표본공간 S를 분할하고 있다고 합시다.

 

어떤 사건 B가 있다고 할 때, 아래 등식이 성립합니다. 위 조건과 상관없이 이건 그냥 당연히 성립합니다. 

$P(B)=P(B \cap S)$

집합 A들이 표본공간을 분할하고 있으므로, 아래와 같이 변형가능합니다. 

$P(B)=P(B \cap (A_{1} \cup ... \cup A_{k}))$

분배법칙을 사용합시다. 

$P(B)=P((B \cap A_{1}) \cup (B \cap A_{2}) \cup ... \cup (B \cap A_{k}))$

괄호안의 각 집합들은 배반이므로 아래 등식이 성립합니다. 

$P(B)=P(B \cap A_{1})+P(B \cap A_{2})+...+P(B \cap A_{k})$

우변의 각 항에 곱셈공식을 적용합시다. 

$P(B)=P(A_{1})P(B|A_{1})+P(A_{2})P(B|A_{2})+ \cdots +P(A_{n})P(B|A_{k})$

여기서 아래 그림을 통해 위 식의 의미를 한번 생각하고 넘어갑시다. 

일부러 교집합이 없는 경우가 생기게 그렸습니다. 교집합이 없는 항이 있어도 상관없습니다. 그냥 해당 확률이 0이 되는겁니다. 

위 식에 시그마기호를 적용하면 아래와 같습니다. 

$P(B)=\sum_{i=1}^{k}P(A_{i})P(B|A_{i})$

 

이 수식이 전확률공식입니다. 

 

이름의 의미도 한번 생각해봅시다. 왜 이 수식에 '전확률공식' 또는 '전체확률법칙'이라는 이름이 붙었을까요. Law of total probability 를 번역한 건데요. 전체확률법칙이 더 맞는 번역같네요. 아마 이런 이유 같습니다. 위 수식은 어떤 확률을, 전체확률의 분할을 이용하여 표현하는 것이잖아요. "어떤 확률을 전체확률의 분할을 이용해서 표현하는 법칙" 줄여서 전체확률법칙이라고 이름붙인게 아닌가 싶습니다.