[수리통계학] #23. 사건 A와 B가 독립이면, A여집합과 B도 독립일까

두 사건 A의 여집합과 B의 교집합에서 부터 유도를 시작합시다. 

$P(A^{c} \cap B)$

위 집합은 B에서 A와 B의 교집합을 뺀 집합과 같습니다. 

$P(A^{c} \cap B)=P(B)-P(A \cap B)$

A와 B는 독립이므로, 교집합을 아래와 같이 바꿔쓸 수 있습니다. 

$P(A^{c} \cap B)=P(B)-P(A)P(B)$

P(B)로 묶어줍시다. 

$P(A^{c} \cap B)=P(B)(1-P(A))$

1-P(A) 는 $P(A^{c})$와 같습니다.

$P(A^{c} \cap B)=P(B)P(A^{c})$

위 등식이 성립하므로 사건 $B$와 $A^{c}$ 가 독립입니다. 따라서 아래 명제가 성립합니다.

두 사건 A와 B가 서로 독립일 때, $A^{c}$과 B도 서로 독립이다.