[수리통계학] #22. 두 사건의 독립

두 사건이 독립일 때 유도되는 성질

 

두 사건(혹은 집합)이 독립이라는 것은 한 사건의 발생이 다른 사건의 확률에 영향을 주지 않는 것을 의미합니다. 따라서 아래 등식이 성립합니다. 

$P(A|B)=P(A)$

또는

$P(B|A)=P(B)$

조건부 확률 공식을 적용하면 아래와 같습니다. 위 두 등식중 어느것으로 해도 결과는 같기 때문에 첫 등식으로 유도하겠습니다.

$P(A|B)=P(A)=\frac{ P(A \cap B) }{ P(B) }$

따라서 아래 등식이 성립합니다.

$\frac{ P(A \cap B) }{ P(B) }=P(A)$

양변에 P(B)를 곱합니다. 

$P(A \cap B)=P(A)P(B)$

두 사건이 독립이면 위 등식이 성립하고, 반대로 위 등식이 성립한다면 두 사건은 독립입니다. 

 

왜??

위 등식이 성립하면 두 사건이 독립이라는 것은 아래와 같이 보이면 됩니다. 

$P(A|B)=\frac{ P(A \cap B) }{ P(B) }$

분자를 아래와 같이 변형합니다. 

$P(A|B)=\frac{ P(A)P(B)}{ P(B) }$

따라서 아래 등식이 유도됩니다. 

$P(A|B)=P(A)$