[카이제곱분포 한눈에] 정의, 분포함수,평균,분산,첨도,왜도,적률생성함수,특성함수

카이제곱분포의 통계량들을 표로 요약한 내용입니다. 

 

k는 자유도입니다. 

 

정의	표준정규분포를 따르는 확률변수들의 제곱합을 확률변수로 하는 분포
정의역	$\left\{\begin{matrix} 0<x<\infty & (k=1)\\  0 \leq x < \infty & else  \end{matrix}\right.$
분포함수	$f(x;k)=\frac{1}{2^{\frac{k}{2}}\Gamma \left ( \frac{k}{2} \right )}x^{\frac{k}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}}$
누적분포함수	$F(x;k)=\frac{1}{\Gamma \left ( \frac{k}{2} \right )}\cdot   \gamma \left ( \frac{k}{2},\frac{x}{2} \right )$
평균	$k$
분산	$2k$
왜도	$\sqrt{\frac{8}{k}}$
첨도	$\frac{12}{k}+3$
적률생성함수	$\left ( 1-2t \right )^{-\frac{k}{2}} \quad \left ( t<\frac{1}{2} \right )$
특성함수	$\left ( 1-2it \right )^{-\frac{k}{2}}$

 

$\gamma \left ( \frac{k}{2},\frac{x}{2} \right )$ 는 하부 불완전 감마함수(lower incomplete gamma function)입니다. 

아래와 같이 정의됩니다. 

$\gamma\left ( s,x \right )=\int_{0}^{x}t^{s-1}e^{-t}dt$