[F분포 한눈에] 정의, 분포함수,평균,분산,첨도,왜도,적률생성함수,특성함수

F분포의 통계량들을 표로 요약한 내용입니다.

 

정의	- 자유도가 $k_{1}$인 카이제곱분포를 따르는 확률변수를 $\chi_{k_1}$, 자유도가 $k_{2}$인 카이제곱분포를 따르는 확률변수를 $\chi_{k_2}$ 라고 합시다. 이때 F분포를 따르는 확률변수 F는 아래와 같이 정의됩니다.  $F=\frac{ \frac{\chi_{k_1}}{k_1} }{ \frac{\chi_{k_2}}{k_2} } \sim F\left ( k_{1},k_{2} \right )$
정의역	$0 \leq x < \infty$
분포함수	$f(x;k_{1},k_{2})=\frac{\sqrt{\frac{\left ( k_1 x\right )^{k_1} k_2^{k_2}} { \left ( k_1 x+k_2 \right )^{k_1+k_2} } } } {xB\left ( \frac{k_1}{2},\frac{k_2}{2} \right )}$ (B는 베타함수)
누적분포함수	$F(x;k_{1},k_{2})=I_{\frac{k_1 x}{k_1 x+k_2}}\left ( \frac{k_1}{2},\frac{k_2}{2} \right )$ ($I$는 regularized incomplete 베타함수)
평균	$\frac{k_2}{k_2-2} \quad(k_2>2)$
분산	$\frac{2k^{2}_2 \left ( k_1+k_2-2 \right )}{k_1\left ( k_2-2 \right )^2\left ( k_2-4 \right )}$
왜도	$\frac{ \left ( 2k_1+k_2-2 \right )\sqrt{8\left ( k_2-4 \right )} } { \left ( k_2-6 \right )\sqrt{k_1\left ( k_1+k_2-2 \right )} } \quad (k_2>6)$
첨도	복잡
적률생성함수	존재하지 않음
특성함수	$\varphi ^{F}_{k_1,k_2}(s)=\frac{\Gamma\left ( \frac{d_1+d_2}{2} \right )}{\Gamma\left ( \frac{d_2}{2} \right )}U\left ( \frac{k_1}{2},1-\frac{d_2}{2},-\frac{d_2}{d_1}is \right )$ (U는 confluent hypergeometric function of second kind)