[t분포 한눈에] 정의, 분포함수,평균,분산,첨도,왜도,적률생성함수,특성함수

t분포의 통계량들을 표로 요약한 내용입니다.

 

정의	- 표본평균을 정의하는 모표준편차 대신 표본표준편차를 넣어 정의된 확률변수의 확률분포 - 정규분포보다 꼬리쪽이 heavy함
정의역	$-\infty < x < \infty$
분포함수	$f(x;\nu)=\frac{\Gamma\left ( \frac{\nu+1}{2} \right )}{\sqrt{\nu \pi}\Gamma \cdot \left ( \frac{\nu}{2} \right )} \left ( 1+\frac{x^{2}}{\nu} \right )^{-\frac{\nu+1}{2}}$ ($\nu$는 자유도)
누적분포함수	$F(x;\nu)=\frac{1}{2}+x\cdot \Gamma\left ( \frac{\nu+1}{2} \right )\cdot  \frac{_{2}F_{1}\left ( \frac{1}{2},\frac{\nu+1}{2};\frac{3}{2},-\frac{x^{2}}{\nu} \right )}{\sqrt{\nu \pi}\Gamma \cdot \left ( \frac{\nu}{2} \right )}$ ($_{2}F_{1}$은 초기하함수)
평균	$0$
분산	$\left\{\begin{matrix} \infty & (1<\nu \leq 2)\\  \frac{\nu}{\nu-2} & (\nu>2)  \end{matrix}\right.$
왜도	$0 \quad (\nu>3)$
첨도	$\left\{\begin{matrix} \infty & (2<\nu \leq 4) \\  \frac{6}{\nu-4}+3 & (\nu>4)  \end{matrix}\right.$
적률생성함수	정의되지 않음
특성함수	$\frac{K_{\frac{\nu}{2}}(\sqrt{\nu}\left | t \right |) \cdot (\sqrt{\nu}\left | t \right |)^{2} } {\Gamma\left ( \frac{\nu}{2} \right ) \cdot 2^{\frac{\nu}{2}-1}}$ ($K_{\nu}(x)$는 modifed Bessel funcion of the second kind)